Variation of Riemann Sum / Convergence Preserving Map

$f : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$이 연속함수라면, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\phi(n)} \sum_{1 \le k \le n, \text{gcd}(k, n)=1} f \left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$임을 보여라.

기본적으로 연속함수 $f$는 step function으로 근사할 수 있음이 잘 알려져 있다.

그러므로, $f$가 $[0,1]$의 subinterval $[a,b]$에 대한 indicator function인 경우에만 증명을 하면 충분하다.

즉, 임의의 subinterval $\Delta \subset [0,1]$에 대하여 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{|\{k/n : k/n \in \Delta, \text{gcd}(k, n)=1\}|}{\phi(n)} = |\Delta|$임을 보이면 된다.

이제 문제가 100% 정수론으로 변환된다. $n = \prod_{i=1}^k p_i^{e_i}$라고 쓰자.

또한, 각 자연수 $d$에 대하여 $S_d = \{k/n : k/n \in \Delta, d|k\}$라 하자. 

포함-배제의 원리에서, $|\{k/n : k/n \in \Delta, \text{gcd}(k, n) = 1\}| = \sum_{d|n} \mu(d) |S_d|$가 성립한다.

또한, 각 자연수 $d$에 대하여 $S_d = \frac{n}{d} |\Delta| + \mathcal{O}(1)$이 성립한다. 이제 $\sum_{d|n} \mu(d) |S_d| = \sum_{d|n} \mu(d) \left( \frac{n}{d} |\Delta| + \mathcal{O}(1) \right)$이고,

이는 다시 $\phi(n) |\Delta| + \mathcal{O}(\sum_{d|n} |\mu(d)|) = \phi(n) |\Delta| + \mathcal{O}(2^k)$가 된다. 이제 $2^k$에 대한 bound를 봐야 한다.

첫 $k$개의 소수의 곱이 대략 $e^{k \log k}$ 정도로 증가한다는 사실은 나름 유명하다. 또한, $\phi(n) > n / (e^{\gamma} \log \log n + 3 / \log \log n)$도 성립한다. 

그러니 두 사실을 합치면 $2^k / \phi(n) \rightarrow 0$ as $n \rightarrow \infty$를 알고, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{|\{k/n : k/n \in \Delta, \text{gcd}(k, n)=1\}|}{\phi(n)} = |\Delta|$를 얻어 끝.

$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$은 임의의 실수 수열 $\{u_n\}$에 대하여, 다음을 만족한다.

조건: $\sum_{n=1}^\infty u_n$이 수렴하면 $\sum_{n=1}^\infty f(u_n)$이 수렴한다.

이때, 적당한 $\epsilon > 0$과 $\alpha \in \mathbb{R}$이 존재하여, $\forall x \in (-\epsilon, \epsilon)$, $f(x) = \alpha x$임을 보여라.

$f(0)=0$임은 자명하다. 증명하고자 하는 것은, 적당한 $\epsilon > 0$이 있어 임의의 $x, y \in (0, \epsilon)$에 대하여 $\displaystyle \frac{f(x)}{x} = \frac{f(-y)}{-y}$가 성립한다는 것이다. 

귀류법을 쓰면, 임의의 $\epsilon > 0$에 대하여 $x, y \in (0, \epsilon)$이 있어 $\displaystyle xf(-y)+yf(x) \neq 0$이라는 것이다.

그러므로, $x_n, y_n \in (0, 2^{-n})$을 잡아 $x_nf(-y_n)+y_nf(x_n) \neq 0$이 성립하도록 하자.

이제 모순을 얻기 위해서 적당한 수열 $\{u_n\}$을 설계할 것이다. 이를 위해서 다음과 같이 아이디어를 정리하자.

1. 목표는 $x_n(-y_n) + y_n(x_n) = 0$, $x_nf(-y_n) + y_nf(x_n) \neq 0$을 이용하는 것이다.

2. $x_n$과 $-y_n$을 대충 $y_n : x_n$ 비율로 많이 배치하면 이를 이용할 수 있을 것이다.

3. 일단 이렇게 하면 확실한 것은 $\sum f(u_n)$은 수렴하지 않을 것이다. $\sum u_n$을 수렴시킬 수 있을까?

4. 가능하다. $x_n, -y_n$을 배치하되, 부분합이 $y_n$을 넘어가면 $-y_n$을 배치하고, 아니면 $x_n$을 배치하는 식으로 가자.

5. 이렇게 해서 $x_n, -y_n$을 배치하면, $u_n$의 부분합은 $x_n+y_n$을 넘기지 않는데 $f(u_n)$의 부분합은 한없이 커진다.

6. 이를 충분히 배치해준 다음, $x_{n+1}, -y_{n+1}$을 배치하는 것으로 넘어가자. 이를 반복한다.

7. 당연히 $f(u_n)$의 부분합은 수렴하지 않지만, $u_n$의 부분합은 코시 수열임을 쉽게 확인할 수 있다.

이제 이를 예쁘게 서술해주면 증명이 끝난다. 아이디어가 예술적인 문제다. 유명하고 좋은 연습문제는 $f(x)=x^3$일 때 반례를 드는 것이다.

또한, 당연하지만 $f$가 문제의 결론처럼 $0$ 주위에서 linear하면 문제의 조건을 만족한다.