Rearrangements: Series in R^n (#1)

2개의 포스팅에 걸쳐서, \( \mathbb{R}^n \) 벡터의 수열들과, 이들의 Rearrangement의 수렴성에 대해서 다룬다.

이번 글에서는 \(n=1\)인 경우, 즉 우리가 익숙한 실수 수열들의 Rearrangement와 수렴성에 대해서 다룬다.

그리고 이를 기반으로 해서, 일반적인 \( \mathbb{R}^n \) 벡터의 수열들에 대한 여러 직관/아이디어를 다룬다.

먼저 Rearrangement의 정의를 짚고 넘어가자. Rudin p. 75에 있는 Definition 3.52를 그대로 가져온다.

Definition: \(k_n\) (\(n=1,2, \cdots \))은 모든 자연수가 정확히 한 번씩 등장하는 수열이다. 즉, \(k_n\)은 자연수의 집합에서 자연수의 집합으로 가는 전단사함수라고 볼 수 있다. 이제 \(a'_n=a_{k_n}\)이라 하면, \(\sum a'_n\)은 \(\sum a_n\)의 Rearrangement라고 한다. 

Theorem 1: (Riemann's Rearrangement Theorem) 

(1) \(\sum a_n\)이 절대수렴하는 실수 series라면, 모든 Rearrangement \(\sum a'_n\)이 수렴하고, 같은 값으로 수렴한다. 

(2) \(\sum a_n\)이 수렴하지만 절대수렴하지는 않는 실수 series라 하자. 이제 $$ -\infty \le \alpha \le \beta \le \infty$$인 \(\alpha, \beta\)를 잡으면, 적당한 Rearrangement \(\sum a'_n\)가 존재하여 다음이 성립한다. $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \text{inf  } s'_n = \alpha, \text{     } \lim_{n \rightarrow \infty} \text{sup  } s'_n = \beta $$ 물론 여기서 \(s'_n = \sum_{i=1}^n a'_i \)는 Rearrangement의 Partial Sum이다. 

Proof of Theorem 1:  

(1) \(\sum |a_i|\)가 수렴하므로, 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대해 \(m \ge n \ge N\)이면 \(\sum_{i=n}^m |a_i| < \epsilon\)이 성립하는 적당한 자연수 \(N\)이 존재한다. 이제 \(k_1, k_2, \cdots k_p\)에 \(1, 2, \cdots N\)이 모두 포함되는 자연수 \(p\)를 설정하자. 앞선 Definition에서 쓴 notation을 그대로 가져왔다. 이제 \(n > p\)라면, \(s_n - s'_n = \sum_{i=1}^n (a_i - a'_i) \)에서 \(a_1, a_2, \cdots a_N\)은 전부 상쇄되며, \(N\) 이상의 index에 해당하는 수열의 값들은 식에서 최대 한 번 등장한다. 직접 써보면서 생각하자. 결론적으로 \(|s_n-s'_n| < \epsilon \)이고, 결국 \(\epsilon - \delta\) 정의에 의해 \(\{s'_n\}\)도 \(\{s_n\}\)과 같은 값으로 수렴한다. 증명에서 \(a_i\)가 실수임을 사실상 쓰지 않았다. 즉, \(\mathbb{R}^n\)에서도 이 정리는 성립.  

(2) \(p_n = \frac{a_n + |a_n|}{2}\), \(q_n = \frac{|a_n|-a_n}{2}\)라 하자. 그러면 \(p_n-q_n = a_n\), \(p_n+q_n = |a_n|\)이며 \(p_n, q_n \ge 0\)이다. \(\sum a_n\)은 수렴하고, \(\sum |a_n|\)은 발산하므로, \(\sum p_n\)과 \(\sum q_n\)은 모두 발산한다. 즉, 이 친구들은 unbounded. 한편, \(P_1, P_2, \cdots \)를 \(a_n\)의 nonnegative term을 등장 순서대로 나열한 것이라고 하고, \(Q_1, Q_2, \cdots \)를 \(a_n\)의 negative term의 절댓값을 등장 순서대로 나열한 것이라고 하자. 그러면 \(P_i\)들은 \(p_i\)들과 zero term에서만 차이가 나고, \(Q_i\)들은 \(q_i\)들과 zero term에서만 차이가 난다. \(a_i\)의 부호에 따라서, \(p_i, q_i\)가 어떻게 표현되는 지를 생각해보자. 아무튼 여기서 \(\sum P_i\)와 \(\sum Q_i\)는 발산함을 알 수 있다. 이제 우리의 목표는 \(P\)에서 원소를 몇 개 배치, \(Q\)에서 원소를 몇 개 배치하는 것을 반복하여, 부분합의 값이 \(\alpha\)와 \(\beta\) 사이를 돌도록 하는 것이다. 이를 위해서, 자연수로 이루어진 증가수열 \(m_n, k_n\)을 적당히 잡아서, $$P_1 + P_2 + \cdots P_{m_1} - Q_1 - Q_2 - \cdots Q_{k_1} + P_{m_1+1} + P_{m_1+2} + \cdots + P_{m_2} - Q_{k_1+1} - Q_{k_1+2} - \cdots - Q_{k_2} + \cdots $$ 형태의 Rearrangement를 만들 것이다. 

이를 위해서, 실수 수열 \(\{\alpha_n\}, \{\beta_n\} \)를 잘 잡아서, \(\alpha_n \rightarrow \alpha\), \(\beta_n \rightarrow \beta\)가 성립하고, \(i<j\)면 \(a_i \le a_j \le \alpha \le \beta \le b_j \le b_i\)가 성립하도록 하자. 또한, \(b_1 > 0\)이 성립하도록 설정하자. 이제 \(m_1, k_1\)은 $$P_1 + P_2 + \cdots P_{m_1} > \beta_1, \text{    } P_1 + P_2 + \cdots P_{m_1} - Q_1 - Q_2 - \cdots Q_{k_1} < \alpha_1$$이 성립하는 최소의 자연수로 설정한다. 이 방식으로 \(m_n, k_n\)을 계속해서 잡아나간다. 이것이 가능한 이유는 \(\sum P_i\)와 \(\sum Q_i\)는 발산하기 때문이다. 이제 이렇게 Rearrangement를 잡아주면, \(P_{m_n}\)까지 더한 Partial Sum은 \(n \rightarrow \infty\)에서 \(\beta\)로 수렴하고, \(Q_{k_n}\)까지 더한 Partial Sum은 \(n \rightarrow \infty\)에서 \(\alpha\)로 수렴함을 확인할 수 있다. 또한, $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \text{inf  } s'_n = \alpha, \text{     } \lim_{n \rightarrow \infty} \text{sup  } s'_n = \beta $$까지 직접 확인할 수 있다. 확인하는 과정은 크게 어렵지 않고, routine한 과정이므로 생략한다. 증명 끝. 

이제 우리는 \(\mathbb{R}^n\)의 벡터로 이루어진 series와 이들의 Rearrangement에 대해 생각한다. 

Theorem 1을 통하여 우리는 \(\mathbb{R}\)의 원소들로 이루어진 series가 수렴할 경우, 절대수렴 여부에 따라서 그 Rearrangement가 가질 수 있는 '범위'가 달라진다는 것을 확인했다. 급수가 절대수렴할 경우, 어떻게 Rearrangement를 잡더라도 그 급수는 기존 급수와 같은 값으로 수렴하며, 이는 \(\mathbb{R}^n\)에서도 동일하다. 급수가 조건수렴할 경우, Rearrangement를 적당히 잘 잡아서 새로운 수열이 가지는 subsequential limit들의 superior, inferior까지도 우리 마음대로 설정할 수 있음을 보였다.

이제 다음과 같은 질문이 자연스럽게 나올 수 있을 것이다.

Question 2:

\(\mathbb{R}^n\)의 벡터로 이루어진 series \(\sum a_n\)이 있다. 이제, 이 series의 적당한 Rearrangement \(\sum a'_n\)이 존재해 \(\sum a'_n\)이 \(v \in \mathbb{R}^n \)으로 수렴하면, \(v\)를 "도달 가능한 극한값"이라 하자. 도달 가능한 극한값의 집합을 \(V\)라 하면, \(V\)는 어떤 형태일까?   

일단 \(n=1\)인 경우, \(V\)는 '공집합', '점', 그리고 '수직선 전체' 중 하나임을 확인하자. 

조금 생각을 해보면, 만약 급수의 모든 항이 \(\mathbb{R}^n\)의 subspace \(W\)의 원소라면, (즉, \(a_n \in W\)) 어떻게 Rearrangement를 하더라도 Rearrangement의 수렴값 \(v \in \mathbb{R}^n\)이 존재한다면 \(v \in W\)가 성립한다는 사실을 알 수 있다.  

이 사실은 다양한 방법으로 설명할 수 있다. \(W\)의 orthogonal complement를 생각하는 것이 하나의 방법이다. Series의 각 원소들이 \(W\)의 orthogonal complement의 basis의 원소들과 모두 수직하므로, 모든 Series의 부분합도 이 성질을 만족하고, (dot product를 생각하자!) 결론적으로 \(v\)도 이 성질을 가져가게 된다. Orthogonal Complement의 Orthogonal Complement는 자기 자신임이 잘 알려져 있고, 결국 \(v\)는 \(W\) 안에 속하게 된다. 이렇게 증명 끝. 또 다른 방법으로는, subspace가 closed한 집합임을 설명하는 방법이 있다. 이것도 잘 알려진 사실이다.

이제 다시 \(n=1\)의 경우를 보자. \(V\)가 일종의 vector space 형태로 나올 것이라는 느낌이 든다. 

여기서 한 층 더 깊게 생각해보자. 조건수렴하는 실수 series \(\sum a_n\)이 있다고 하자. 

Riemann Rearrangement Theorem에 의해, 우리는 이 series를 잘 Rearrange하여, 원하는 곳으로 수렴시킬 수 있다. 

이제 \(b_n = (a_n + \frac{1}{2^n}, 2a_n, 3a_n - \frac{1}{2^n}) \)로 정의된 \(\mathbb{R}^3\)의 벡터들을 생각하자. 

이제부터는 \(\sum b_n\)을 생각하자. 이 series를 잘 Rearrange하면, 어떤 수렴값을 얻을 수 있을까?

조금 고민해보면, 결국 \(V\)는 \((1,0,-1)+t(1,2,3)\) 형태의 벡터로 이루어졌음을 알 수 있다. 

여기서 series의 합은 \(n=1\)부터 시작한다고 가정했다. 아무튼 우리는 \(V\)의 형태에 대한 직관을 하나 더 얻었다.     

이제 우리의 직관이 참임을 증명해보자. 이 증명은 후속 포스팅에서 다룬다. 우리의 최종 목표는 다음과 같다. 

 

Theorem 3: Lévy-Steinitz Theorem (Lévy 1905, Steinitz 1913, Gross 1917) 

\(\mathbb{R}^n\)의 벡터들로 이루어진 series \(\sum a_n\)에 대하여, 도달 가능한 극한값들의 집합 \(V\)는 공집합이거나, 적당한 \(\mathbb{R}^n\)의 subspace \(W\)과 \(v \in \mathbb{R}^n\)에 대해 \(v+W\)꼴로 표현된다. 즉, \(V\)는 공집합이거나 \(\mathbb{R}^n\)의 subspace를 적당히 translate한 형태이다.