Number Fields Chapter 2 : Number Fields & Rings (Main Text - 1)

Marcus의 Number Fields를 읽는다. 딱 학부 수준에서 대수적 정수론 맛보기 좋은 책이라고 생각한다.

Chapter 1은 책 내용의 맛보기를 페르마의 마지막 정리를 통해 소개하는 내용이니 생략.

Chapter 7 이후부터는 복소해석에 대한 기초가 필요한 것 같아, 미래의 나에게 미룬다.

현대대수학 1, 2 정도의 사전지식을 가정한다. 본인은 프렐라이 + 이인석 교수님의 대수학 책을 어느 정도 읽은 상태다.

 

증명을 다 쓰고 싶지는 않고, 최대한 압축해서 쓰려고 한다. 일단 내가 읽으려고 쓰는 목적이 커서...

 

지금까지 읽은 간단한 후기는

• 이거 겁나 재밌다 ㅋㅋㅋ 벌써부터 되게 강력한 결과들이 많은데, 뒤에서는 훨씬 더 많아진다
• $\mathbb{Q}, \overline{\mathbb{Q}}, \mathbb{C}$ 위에서 노는 메리트가 굉장히 많다 : 일단 char 0인게 너무 편하다.
• Perfect Field, Separability, Primitive Element Theorem을 정말 마음 편하게 적용할 수 있다 
• 현대대수를 재밌게 복습/강화할 수 있는 좋은 공부가 되고 있는 것 같다
• Evan Chen의 Napkin은 먼저 흐름만 쓱 보고, Stein은 읽은 후 코드만 쓱 보면 딱 좋은 것 같다

이제부터 본문 시작인데, 먼저 현대대수 복습부터 빠르게 하자.

 

정의: $\alpha$가 적당한 $\mathbb{Q}[x]$의 원소의 근이라면, $\alpha$를 Algebraic Number라 한다.

정의: $\alpha$가 적당한 monic인 $\mathbb{Z}[x]$의 원소의 근이라면, $\alpha$를 Algebraic Integer라 한다.

정의: $\mathbb{C}$의 subfield이면서 $\mathbb{Q}$의 finite extension인 것을 Number Field라 한다.

이제부터 그냥 Algebraic Number를 AN, Algebraic Integer를 AI, Number Field를 NF라 하겠다.

 

일단 여기서 바로 얻을 수 있는 중요한 결과들이 있다. 모두 Gauss' Lemma로 증명이 된다.

• $\alpha$가 $\mathbb{Z}[x]$라 하고, $\text{irr}(\alpha, Q)$를 생각하면 이는 $\mathbb{Z}[x]$의 원소.
• $\alpha$가 AI면서 유리수라면 정수여야 한다.  

또한, 현대대수학에서 우리는 Cyclotomic Field에 대한 중요한 결과를 배웠다.

• $\omega = e^{2\pi i / m}$이라 하면 $\text{deg}(\omega, \mathbb{Q}) = \phi(m)$
• Cyclotomic Polynomial은 irreducible, 정수 계수 다항식
• 특히 $\mathbb{Q}(\omega)$ over $\mathbb{Q}$의 Galois group은 $\mathbb{Z}_m^{\times}$와 isomorphic

 

이제 대수적 정수론의 "진짜" 첫 결과를 보자. $\alpha \in \mathbb{C}$에 대하여 다음이 동치이다.

• 1. $\alpha$가 AI
• 2. additive group of $\mathbb{Z}[\alpha]$ is finitely generated
• 3. $\alpha$ is a member of some subring of $\mathbb{C}$ with a finitely generated additive group
• 4. $\alpha A \subset A$ for some finitely generated additive subgroup $A \subset \mathbb{C}$

증명을 스케치하자면, 먼저 1 => 2 => 3 => 4 방향은 자명하다. 4 => 1이 핵심이다. 이를 위해서는 $A$의 generating set $a_1, a_2, \cdots , a_n$을 잡고, $\alpha$를 곱하는 것을 정수 계수를 갖는 선형변환으로 생각하면 된다. 이러면 $\alpha$가 정수 항을 가지는 행렬의 eigenvalue임을 확인할 수 있고, 특성다항식을 생각하면 ok.

 

2, 3번 조건이 상당히 강력하다. 여기서 AI가 ring 구조를 가짐을 얻는다.

• $\alpha, \beta$가 AI면 additive group of $\mathbb{Z}[\alpha]$, $\mathbb{Z}[\beta]$가 finitely generated.
• 이들의 generating set을 가지고 additive group of $\mathbb{Z}[\alpha, \beta]$ 역시 finitely generated임을 안다.
• 그런데 $\alpha + \beta$, $\alpha \beta$가 모두 $\mathbb{Z}[\alpha, \beta]$에 속하므로, ok.

또한, algebraic integer를 계수로 갖는 monic polynomial의 근도 algebraic integer임을 얻을 수 있다. (이인석 교수님의 대수학 책의 "그 trick")

 

이제 우리가 볼 다음 대상은 Trace와 Norm이다. $K, L$이 NF고 $K \le L$이라 하자. $n = [L : K]$라 하고, $\sigma_1, \sigma_2, \cdots, \sigma_n$이 $K$를 fix하는 embedding $L \rightarrow \mathbb{C}$이라 하자. 이제 각 $\alpha \in L$에 대하여 Trace, Norm을 

• Trace : $T^L_K(\alpha) = \sum_{i=1}^n \sigma_i(\alpha)$,  Norm : $N^L_K(\alpha) = \prod_{i=1}^n \sigma_i(\alpha)$

라고 한다. 이 함수들이 linear/multiplicative임은 자명하다. 또한, 이 값들이 $K$에 속함도 익숙할 것이다.

또한, $\alpha$가 AI라면 Trace, Norm 모두가 AI임도 이제 AI가 ring임을 아니 쉽게 증명할 수 있다.

추가적으로, Trace/Norm은 transitivity를 갖는다. 즉, $T^L_K(T^M_L(\alpha)) = T^M_K(\alpha)$, $N^L_K(N^M_L(\alpha)) = N^M_K(\alpha)$이다. 물론 $K \le L \le M$.

이를 위한 증명은 특별한 아이디어를 쓰지 않으므로 (현대대수학에서 다 보이는 아이디어) 생략한다.

 

다음으로 볼 대상은 Discriminant. $K$가 NF고 $n = [K : \mathbb{Q}]$이라 하자. $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n \in K$에 대하여, $\alpha_1, \alpha_2, \cdots , \alpha_n$의 discriminant를 $$\text{disc}(\alpha_1, \cdots , \alpha_n) = \text{det}([\sigma_i(\alpha_j)])^2$$라고 정의한다. 여기서 $\text{det}(A)^2 = \text{det}(AA^T)$임을 적용하면, $$\text{disc}(\alpha_1, \cdots , \alpha_n) = \text{det}([T(\alpha_i \alpha_j)])$$를 얻는다. 그러니, $\alpha_i$들이 전부 AI면 discriminant 역시 AI가 된다. 또한, 간단한 선형대수를 통해서 $\text{disc}$를 통해서 $\alpha_i$들이 linearly independent over $\mathbb{Q}$인지 확인할 수 있음을 보일 수 있다. Trace의 성질을 활용해주면 된다. 이러한 면에서 determinant와 유사한 점이 있다고 생각할 수 있겠다.

 

이제 $K = \mathbb{Q}(\alpha)$라 하고, $n = [K : \mathbb{Q}]$라 하자. 이때, $$\text{disc}(\alpha) = \text{disc}(1, \alpha, \cdots , \alpha^{n-1})$$이라고 정의한다. discriminant의 첫 정의를 생각하면 이는 Vandermonde 형태를 가진다. $\alpha_1, \cdots , \alpha_n$을 $\alpha$의 conjugate이라 하면, 결국 $$\text{disc}(\alpha) = \prod_{1 \le r < s \le n} (\alpha_r - \alpha_s)^2 = \pm N^K (f'(\alpha))$$를 얻는다. 여기서 $f = \text{irr}(\alpha, \mathbb{Q})$이다. 또한, $\pm$은 $n \equiv 0, 1 \pmod{4}$일 때 성립한다.

첫 등식은 Vandermonde에서 나오고, 두 번째 식은 $r$이 $f$의 근일 때 $f'(r)$의 식 형태에서 나온다. 당연하지만 $f$는 중근이 없다.