Number Fields Chapter 2 : Number Fields & Rings (Main Text - 2)

$K$가 $n = [K : \mathbb{Q}]$인 NF라고 할 때, $\mathcal{O}_K$를 $K$에 속하면서 AI인 원소들의 집합이라고 하자. 이를 $K$의 ring of integers라고 한다.

우리의 첫 목표는 $\mathcal{O}_K$의 구조를 파악하는 것이다. 이를 위해서 free abelian group에 대한 이해가 필요하다. 

 

보조정리 : $\alpha$가 AN이면, 적당한 자연수 $m$이 존재하여 $m\alpha$가 AI이다. 증명은 쉬우니 넘어간다.

그러므로, $K$ over $\mathbb{Q}$에 대한 basis를 잡되, 각 원소가 전부 AI가 되도록, 즉 $\mathcal{O}_K$의 원소가 되도록 할 수 있다.

이제 $\{ \alpha_1, \cdots , \alpha_n\}$을 그 basis라고 하고, $$A = \mathbb{Z}\alpha_1 \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}\alpha_n$$이라고 정의하자. 이는 free abelian group of rank $n$이며, $A \subset \mathcal{O}_K$는 자명하다. 반대로, $d = \text{disc}(\alpha_1, \cdots , \alpha_n)$이라 할 때, 우리는 $$\mathcal{O}_K \subset \frac{1}{d} A$$임을 보일 수 있다. 정확하게 말하자면, $\alpha \in \mathcal{O}_K$라면 적당한 정수 $m_1, m_2, \cdots, m_n$이 존재하여 $$\alpha = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^n m_i \alpha_i$$이고, 이때 $d|m_i^2$이 성립한다. 물론, 이런 $m_i$들이 유일함은 자명하다. 

증명의 아이디어를 보자. 우선 $\alpha = \sum_{i=1}^n x_i \alpha_i$인 $x_i \in \mathbb{Q}$를 잡는다. 이제 embedding $\sigma_1 , \cdots, \sigma_n$을 적용하면, $\sigma_j(\alpha) = \sum_{i=1}^n x_i \sigma_j(\alpha_i)$를 얻는다. 이제 Cramer's Rule을 적용하면, 각 $x_i^2$이 AI에 $d$를 나눈 형태임을 알 수 있다. 마무리는 쉽다.

첨언하자면 이인석 교수님의 대수학에서 Linear Algebra over $\mathbb{Z}$를 다룰 때 determinant/adjoint의 힘을 강조하는데, 여기서도 보인다.

 

이제 $\mathcal{O}_K$가 두 free abelian group of rank $n$ 사이에 끼어있으니, $\mathcal{O}_K$도 그렇다는 것을 알 수 있다.

 

정리 : $\mathcal{O}_K$ is a free abelian group of rank $n$

 

결국 $\mathcal{O}_K$가 basis over $\mathbb{Z}$를 갖는다는 것을 알 수 있다. 이는 $K$의 basis over $\mathbb{Q}$가 되기도 한다.

이를 number ring $\mathcal{O}_K$의 integral basis라고 부른다. 물론, 이는 유일하지 않다. 하지만, 두 integral basis는 같은 discriminant를 가짐을 보일 수 있다.

한쪽이 다른 쪽의 정수 계수 선형결합이 되어야 하므로, determinant를 생각하면 각 discriminant가 서로의 양수 배수여야 한다. 그

러니 discriminant가 같을 수 밖에 없으며, 이 값을 $\mathcal{O}_K$의 자체적인 값으로 이해해도 된다. 즉, $\text{disc}(\mathcal{O}_K)$라는 표현을 쓸 수 있다.  

 

다음 주제는, 두 NF $K, L$의 composite field $KL$의 ring of integers $\mathcal{O}_{KL}$을 보는 것이다.

$\{\alpha_1, \cdots , \alpha_m\}$이 $\mathcal{O}_K$의 integral basis, $\{\beta_1, \cdots , \beta_n\}$이 $\mathcal{O}_L$의 integral basis라 하자.

그러면 $\mathcal{O}_{KL}$이 $\mathcal{O}_K \mathcal{O}_L$을 포함하는 것은 자명하다. 반대방향이 문제다. 이때, $[KL : \mathbb{Q}] = mn$, $d = \text{gcd}(\text{disc}(\mathcal{O}_K), \text{disc}(\mathcal{O}_L))$이라면, $$\mathcal{O}_{KL} \subset \frac{1}{d} \mathcal{O}_K \mathcal{O}_L$$임을 증명할 수 있다. 특히 $d=1$이면 $\mathcal{O}_{KL} = \mathcal{O}_K \mathcal{O}_L$이 성립한다.

 

우선 $\alpha_i \beta_j$가 $\mathcal{O}_K \mathcal{O}_L$의 basis over $\mathbb{Z}$, $KL$의 basis over $\mathbb{Q}$임은 degree condition $[KL : \mathbb{Q}] = mn$에서 얻어진다. 그러므로, 각 $\alpha \in \mathcal{O}_{KL}$은 $$\alpha = \sum_{i, j} \frac{m_{i, j}}{r} \alpha_i \beta_j$$라고 쓸 수 있다. 단, $\text{gcd}(r, \text{gcd}(m_{i, j})) = 1$이라고 하자. 이제 목표를 보이기 위해서는 $r | d$임을 보이면 충분하고, 대칭성에서 $r| \text{disc}(\mathcal{O}_K)$만 보여도 된다. 각 $K$의 embedding $\sigma$를 $KL$의 embedding으로 확장하되, $L$을 고정하도록 하자. 이 역시 degree condition에 의해 가능한 것이다. 그러면 $$\sigma(\alpha) = \sum_{i, j} \frac{m_{i, j}}{r} \sigma(\alpha_i) \beta_j$$가 되고, 여기서 $$x_i = \sum_{j=1}^n \frac{m_{i, j}}{r} \beta_j$$라 하면 $$\sigma(\alpha) = \sum_{i=1}^m  x_i \sigma(\alpha_i)$$가 된다. 여기서 Cramer's Rule을 또 적용하면 $x_i^2$이 AI / discriminant 형태가 됨을 알 수 있다. 여기서 $\text{disc}(\mathcal{O}_K) x_i$는 AI임을 얻는다.

그러므로, 이 값은 정의상 $\mathcal{O}_L$에 속하고 $\beta_j$들의 정수 계수 선형결합으로 표현된다. 마무리는 쉽다.

 

마지막 주제는 integral basis의 표현이다. NF는 모두 $\mathbb{Q}(\alpha)$ 형태이니 (Primitive Element Theorem) integral basis 역시 모두 $\alpha$에 대한 식으로 표현할 수 있을 것이다. 이를 더욱 강화한 결과를 소개한다. 약간 Fundatemental Theorem of Finitely Generated Abelian Group 느낌이 난다.

 

정리 : $\alpha \in \mathcal{O}_K$고, $\text{deg}(\alpha, \mathbb{Q}) = n$이라 하자. 이때, $\mathcal{O}_K$의 integral basis $$1, \frac{f_1(\alpha)}{d_1}, \cdots , \frac{f_{n-1}(\alpha)}{d_{n-1}}$$이 존재한다. 단, $d_i \in \mathbb{Z}$이며 $d_1 | d_2 | \cdots | d_{n-1}$이고, $f_i$는 monic이며 $\mathbb{Z}[x]$에 속한다. 또한, $d_i$들은 유일하다.

 

이 결과로 quadratic field $\mathbb{Q}(\sqrt{m})$이나 pure cubic field $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{m})$의 ring of integers의 integral basis를 구할 수 있다고 한다.

 

Step 1 : 기본 세팅 잡기

$d = \text{disc}(\mathcal{O}_K)$이라 하자. $\{1, \alpha, \cdots , \alpha^{n-1}\}$는 $K$의 basis over $\mathbb{Q}$다.

그러니, $\mathbb{O}_K$의 각 원소는 $1/d, \alpha/d, \cdots , \alpha^{n-1}/d$에 의해 generate 되는 free abelian group에 속한다.

특히, $F_k$를 $1/d, \cdots, \alpha^{k-1}/d$에 의해 generate 되는 free abelian group이라 하고, $R_k$를 $F_k$의 원소 중 AI인 것의 집합이라 하자.

$R_1 = \mathbb{Z}$이고, $\mathbb{R}_n = \mathcal{O}_K$임은 이제 자명하다. 목표는 $\mathbb{R_k}$의 integral basis를 귀납적으로 만들어가는 것이다.

 

Step 2 : 추가할 원소 잡기

$1, f_1(\alpha) / d_1, \cdots , f_{k-1}(\alpha) / d_{k-1}$이 $R_k$의 integral basis라고 가정하자. 

이제 canonical projection $\pi$를 생각하는데, 대충 $R_{k+1}$의 원소에서 $\alpha^k$ 항을 빼내는 것으로 생각하면 된다.

그런데 $\pi(R_{k+1})$은 자명히 $\alpha^k / d$가 generate 하는 cyclic group의 subgroup이므로, cyclic이다.

그러니, 적당한 $\beta \in R_{k+1}$이 있어 $\pi(\beta)$가 $\pi(R_{k+1})$을 생성하게 할 수 있다. 이제 $\beta$를 basis에 추가하면, $R_{k+1}$의 integral basis를 얻는다.

$R_{k+1}$의 원소가 있으면, $\pi$ 값이 0이 되도록 $\beta$를 적당히 빼주고, 남은 값을 $R_k$의 기존 basis로 표현하면 된다. 선형독립 성질 역시 자명하다. 

 

Step 3 : 각 성질 증명

이제 $\beta$가 어떤 형태를 가지고 있는지 보면 된다. 먼저 $f_{k-1}(\alpha) / d_{k-1}$이 AI이므로, $\alpha f_{k-1}(\alpha) / d_{k-1}$ 역시 AI가 된다. 이는 $\pi(R_{k+1})$에 $\alpha^k / d_{k-1}$이 포함된다는 의미고, $\pi(\beta) = \alpha^k / d_k$라고 쓰면 $d_{k-1} | d_k$라는 것이다. 이제 $\beta = f_k(\alpha) / d_k$이고, $f_k$가 monic이라고 쓸 수 있다. 결국 문제는 $f_k \in \mathbb{Z}[x]$가 성립하냐는 것이다. $f_k(\alpha) / d_{k-1}$이 $\beta$의 정수배이므로 AI이고, $\alpha f_{k-1}(\alpha) / d_{k-1}$ 역시 AI이므로, $$ \frac{f_k(\alpha) - \alpha f_{k-1}(\alpha)}{d_{k-1}} = \gamma$$ 역시 AI가 된다. $\gamma$는 $R_k$에 속하므로, $\text{deg}(g) < k$인 $g \in \mathbb{Z}[x]$가 있어 $\gamma = g(\alpha) / d_{k-1}$이라 쓸 수 있다. 이제 $f_k - xf_{k-1} = g$임을 쉽게 얻을 수 있고 $f$ 역시 $\mathbb{Z}[x]$의 원소임을 얻는다. 마지막으로 $d_i$의 유일성을 보여야 하는데, 이는 $m R_{i+1} \subset \mathbb{Z}[\alpha]$인 최소 $m$이 $d_i$와 같다는 것에서 보여진다.