Stickelberger’s Criterion

Stickelberger’s Criterion : $K$가 NF고 $n = [K : \mathbb{Q}]$이라 하자. $\alpha_1, \cdots , \alpha_n \in \mathcal{O}_K$에 대하여, $d = \text{disc}(\alpha_1, \cdots, \alpha_n) \equiv 0, 1 \pmod{4}$.

• 특히, 여기서 $\text{disc}(\mathcal{O}_K) \equiv 0, 1 \pmod{4}$를 얻는다.

 

Discriminant는 결국 determinant의 제곱이고, determinant는 결국 짝순열 곱의 합에 홀순열 곱의 합을 뺀 것이다.

짝순열 곱의 합을 $P$, 홀순열 곱의 합을 $N$이라고 하면, $d = (P - N)^2 = (P + N)^2 - 4 PN$이 성립한다.

그러므로, 만약 $P+N$과 $PN$이 정수임을 보일 수 있다면, 제곱수의 성질에 의해서 원하는 것이 증명될 것이다.

한편, $P, N$이 각각 AI라는 점은 자명하므로, $P+N, PN$이 유리수임을 보이면 충분하다.

이를 위해서는 적당한 Galois group을 꺼내고, 모든 경우에 대해서 $P+N$, $PN$이 fix 된다는 것을 보이는 방식이 사용된다.

하지만 우리가 지금 normal extension 위에서 놀고 있다는 것은 모르므로, normal closure를 꺼내야 한다.

즉, $K$가 $\mathbb{Q}$의 finite extension이므로, 그 normal closure $L$을 생각할 수 있다. 그러니 $\text{Gal}(L/\mathbb{Q})$에서 놀아보자.

 

여기서 $K$ embedding을 $\sigma_1, \cdots , \sigma_n$이라고 하자. $L = \sigma_1(K) \cdot \sigma_2(K) \cdots \sigma_n(K)$임은 잘 알려져 있다.

또한, 각 $\phi \in \text{Gal}(L/\mathbb{Q})$에 대하여, $\{\phi \circ \sigma_i\} = \{\sigma_i \}$임도 잘 알려져 있다. 그렇다면 $\phi$에 $S_n$의 원소가 대응된다는 건데...

 

결과적으로, 이 대응되는 $\phi$가 짝순열이라면 $\phi$는 $P, N$을 고정시키고, 홀순열이라면 $\phi$는 $P, N$을 swap 한다. 증명은 어렵지 않다.

그러니 $P+N$, $PN$은 홀짝 여부에 관계없이 항상 고정되며, 그러니 Galois Theory의 결과에서 $\mathbb{Q}$의 원소가 된다.