본 포스팅에서는 다음 정리를 증명한다.


Theorem 1. 실수 \(\alpha>0\)와 양의 실수로 이루어진 수열 \( \{ a_k \}\)가 $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^\alpha} \sum_{k=1}^n a_k = L $$을 만족한다고 하자. \([0,1]\)에서 연속한 모든 함수 \(f\)에 대하여, 다음이 성립한다. $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^\alpha} \sum_{k=1}^n f \left(\frac{k}{n} \right) a_k = L \int_0^1 \alpha x^{\alpha - 1}f(x) dx$$


(증명) 먼저 보조정리 3개를 보여주자.


Lemma 2. 모든 \(\beta>0\)에 대해 \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\beta+1}} \sum_{k=1}^n k^\beta = \frac{1}{\beta+1}\)이다.


(Lemma 2 증명) \(f(x)=x^\beta\)에 대한 적분/리만 합이다. 증명 끝. 


Lemma 3. \(\{\lambda_k\}\)가 \(0\)으로 수렴하는 수열이고, \(\beta>0\)이라면 \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\beta+1}} \sum_{k=1}^n k^\beta \lambda_k = 0\)이다. 


(Lemma 3 증명) 자명하게 \(\{\lambda_k\}\)는 bounded인 수열이다. \(\Lambda_n = \text{sup}_{k \ge n} |\lambda_k|\)라 하면, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \Lambda_n = 0\)이 성립한다.

이제 임의의 \(1<m<n\)에 대해서 $$ \left|  \frac{1}{n^{\beta+1}} \sum_{k=1}^n k^\beta \lambda_k \right| \le \left| \frac{1}{n^{\beta+1}} \sum_{k=1}^m k^\beta \lambda_k \right| + \left|\frac{1}{n^{\beta+1}} \sum_{k=m+1}^n k^\beta \lambda_k \right| \le \frac{m^{\beta+1}}{n^{\beta+1}} \Lambda_1 + \Lambda_m$$이 성립한다. \(\epsilon>0\)을 고정하자. 이제 \(\displaystyle \Lambda_m < \frac{1}{2} \epsilon\)인 \(m\)을 하나 고정하고, \(\displaystyle \frac{m^{\beta+1}}{N^{\beta+1}} \Lambda_1 < \frac{1}{2} \epsilon\)인 \(N\)을 잡자. 

그러면 모든 \(n>N\)에 대하여 \(\displaystyle \left| \frac{1}{n^{\beta+1}} \sum_{k=1}^n k^\beta \lambda_k \right| < \epsilon\)이 성립한다. \(\epsilon - \delta\) 논법에 의해 증명 끝.


Lemma 4. Theorem 1의 환경에서 모든 음이 아닌 정수 \(p\)에 대하여, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\alpha+p}} \sum_{k=1}^n k^p a_k = \frac{\alpha}{\alpha+p}L\)이다.


(Lemma 4 증명) \(p=0\)은 주어진 조건이다. 이제 \(p\)에 대한 수학적 귀납법을 사용한다.

\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\alpha+p}} \sum_{k=1}^n k^p a_k = \frac{\alpha}{\alpha+p}L\)이라 가정하자. 이제 \(\displaystyle \lambda_n = \frac{1}{n^{\alpha+p}} \sum_{k=1}^n k^p a_k -\frac{\alpha}{\alpha+p}L\)이라 하자. 단, \(\lambda_0=0\). 

또한, 귀납 가정에 의해 \(\{\lambda_k\}\)는 \(0\)으로 수렴하는 수열이다. 식 조작을 정말 열심히 하면, 놀랍게도 $$ \frac{1}{n^{\alpha+p+1}} \sum_{k=1}^n k^{p+1} a_k = \lambda_n - \frac{1}{n^{\alpha+p+1}} \sum_{k=1}^{n-1} k^{\alpha+p} \lambda_k + \frac{\alpha L}{\alpha+p} \left(1- \frac{1}{n^{\alpha+p+1}} \sum_{k=1}^{n-1} k^{\alpha+p} \right) $$를 얻을 수 있다. 우변은 Lemma 2, 3에 의해서 \(n \rightarrow \infty\)에서 \(\displaystyle \frac{\alpha L}{\alpha+p} \left(1- \frac{1}{\alpha+p+1} \right) = \frac{\alpha L}{\alpha+p+1}\)로 간다.

즉, \(p+1\)에 대해서도 이 명제는 성립하며, 수학적 귀납법의 원리에 의해 증명이 끝난다. 


이제 본 문제로 돌아가자. 


\(\displaystyle I_n(f) = \frac{1}{n^{\alpha}} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) a_k\),  \(\displaystyle J(f) = L \int_0^1 \alpha x^{\alpha-1} f(x) dx\)라 하자. 목표는 \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} I_n(f) = J(f)\)이다.


Step 1. \(f(x)\)가 다항식일 때 Theorem 1을 증명하자. 

모든 음이 아닌 정수 \(p\)에 대해 \(X^p\)를 함수 \( x \rightarrow x^p\)라 하면, Lemma 4에 의해 \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} I_n(X^p) = J(X^p)\)다. 

선형성에 의해, 모든 다항식 \(f\)에 의해 \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} I_n(f) = J(f)\)이다.


Step 2. 임의의 연속함수 \(f(x)\)에 대해 Theorem 1을 증명하자.

\(\displaystyle M = \text{sup}_{n \ge 1} \frac{1}{n^\alpha} \sum_{k=1}^n a_k\)라 하자. 그러면 우선 \(L \le M\)이다. 또한, 삼각부등식과 supremum의 정의에서 $$ |I_n(f)-I_n(g)| \le \frac{1}{n^\alpha} \sum_{k=1}^n \left| f\left(\frac{k}{n}\right)- g\left(\frac{k}{n}\right) \right| a_k \le \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^\alpha} a_k \right) \cdot \text{sup}_{[0,1]} |f-g| \le M \cdot \text{sup}_{[0,1]} |f-g| $$ $$|J(f)-J(g)| \le L\int_0^1 \alpha x^{\alpha-1} |f(x)-g(x)| dx \le L \cdot \text{sup}_{[0,1]} |f-g| \le M \cdot \text{sup}_{[0,1]} |f-g| $$이다. 이제 임의의 연속함수 \(f(x)\)와 \(\epsilon>0\)을 잡자. \(\epsilon-\delta\) 논법을 준비한다.

Weierstrass의 정리에 의해 다항식 \(P_\epsilon\)이 존재하여 \(\displaystyle \text{sup}_{[0,1]} |f-P_\epsilon| < \frac{\epsilon}{3M}\)이다.

Step 1에 의해 \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} I_n(P_\epsilon) = J(P_\epsilon)\)이므로 자연수 \(N\)이 있어 \(n>N\)이면 \(\displaystyle |I_n(P_\epsilon)-J(P_\epsilon)| < \frac{\epsilon}{3}\)이다.

이제 삼각부등식과 위에서 얻은 모든 부등식을 종합하면, 모든 \(n>N\)에 대하여 $$  |I_n(f)-J(f)| \le |I_n(f)-I_n(P_\epsilon)|+|I_n(P_\epsilon)-J(P_\epsilon)|+|J(P_\epsilon)-J(f)| < \frac{\epsilon}{3M} \cdot M + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3M} \cdot M = \epsilon$$를 얻는다. 이는 \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} I_n(f) = J(f)\)라 하기에 충분한 근거다. 증명 끝.

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