$f : [0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$이 연속함수라면, $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\phi(n)} \sum_{1 \le k \le n, \text{gcd}(k, n)=1} f \left(\frac{k}{n}\right) = \int_0^1 f(x) dx$임을 보여라.



$f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$은 임의의 실수 수열 $\{u_n\}$에 대하여, 다음을 만족한다.

조건: $\sum_{n=1}^\infty u_n$이 수렴하면 $\sum_{n=1}^\infty f(u_n)$이 수렴한다.

이때, 적당한 $\epsilon > 0$과 $\alpha \in \mathbb{R}$이 존재하여, $\forall x \in (-\epsilon, \epsilon)$, $f(x) = \alpha x$임을 보여라.



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본 포스팅에서는 다음 정리를 증명한다.


Theorem 1. 실수 \(\alpha>0\)와 양의 실수로 이루어진 수열 \( \{ a_k \}\)가 $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^\alpha} \sum_{k=1}^n a_k = L $$을 만족한다고 하자. \([0,1]\)에서 연속한 모든 함수 \(f\)에 대하여, 다음이 성립한다. $$\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{n^\alpha} \sum_{k=1}^n f \left(\frac{k}{n} \right) a_k = L \int_0^1 \alpha x^{\alpha - 1}f(x) dx$$


(증명) 먼저 보조정리 3개를 보여주자.


Lemma 2. 모든 \(\beta>0\)에 대해 \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\beta+1}} \sum_{k=1}^n k^\beta = \frac{1}{\beta+1}\)이다.


(Lemma 2 증명) \(f(x)=x^\beta\)에 대한 적분/리만 합이다. 증명 끝. 


Lemma 3. \(\{\lambda_k\}\)가 \(0\)으로 수렴하는 수열이고, \(\beta>0\)이라면 \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\beta+1}} \sum_{k=1}^n k^\beta \lambda_k = 0\)이다. 


(Lemma 3 증명) 자명하게 \(\{\lambda_k\}\)는 bounded인 수열이다. \(\Lambda_n = \text{sup}_{k \ge n} |\lambda_k|\)라 하면, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \Lambda_n = 0\)이 성립한다.

이제 임의의 \(1<m<n\)에 대해서 $$ \left|  \frac{1}{n^{\beta+1}} \sum_{k=1}^n k^\beta \lambda_k \right| \le \left| \frac{1}{n^{\beta+1}} \sum_{k=1}^m k^\beta \lambda_k \right| + \left|\frac{1}{n^{\beta+1}} \sum_{k=m+1}^n k^\beta \lambda_k \right| \le \frac{m^{\beta+1}}{n^{\beta+1}} \Lambda_1 + \Lambda_m$$이 성립한다. \(\epsilon>0\)을 고정하자. 이제 \(\displaystyle \Lambda_m < \frac{1}{2} \epsilon\)인 \(m\)을 하나 고정하고, \(\displaystyle \frac{m^{\beta+1}}{N^{\beta+1}} \Lambda_1 < \frac{1}{2} \epsilon\)인 \(N\)을 잡자. 

그러면 모든 \(n>N\)에 대하여 \(\displaystyle \left| \frac{1}{n^{\beta+1}} \sum_{k=1}^n k^\beta \lambda_k \right| < \epsilon\)이 성립한다. \(\epsilon - \delta\) 논법에 의해 증명 끝.


Lemma 4. Theorem 1의 환경에서 모든 음이 아닌 정수 \(p\)에 대하여, \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\alpha+p}} \sum_{k=1}^n k^p a_k = \frac{\alpha}{\alpha+p}L\)이다.


(Lemma 4 증명) \(p=0\)은 주어진 조건이다. 이제 \(p\)에 대한 수학적 귀납법을 사용한다.

\(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^{\alpha+p}} \sum_{k=1}^n k^p a_k = \frac{\alpha}{\alpha+p}L\)이라 가정하자. 이제 \(\displaystyle \lambda_n = \frac{1}{n^{\alpha+p}} \sum_{k=1}^n k^p a_k -\frac{\alpha}{\alpha+p}L\)이라 하자. 단, \(\lambda_0=0\). 

또한, 귀납 가정에 의해 \(\{\lambda_k\}\)는 \(0\)으로 수렴하는 수열이다. 식 조작을 정말 열심히 하면, 놀랍게도 $$ \frac{1}{n^{\alpha+p+1}} \sum_{k=1}^n k^{p+1} a_k = \lambda_n - \frac{1}{n^{\alpha+p+1}} \sum_{k=1}^{n-1} k^{\alpha+p} \lambda_k + \frac{\alpha L}{\alpha+p} \left(1- \frac{1}{n^{\alpha+p+1}} \sum_{k=1}^{n-1} k^{\alpha+p} \right) $$를 얻을 수 있다. 우변은 Lemma 2, 3에 의해서 \(n \rightarrow \infty\)에서 \(\displaystyle \frac{\alpha L}{\alpha+p} \left(1- \frac{1}{\alpha+p+1} \right) = \frac{\alpha L}{\alpha+p+1}\)로 간다.

즉, \(p+1\)에 대해서도 이 명제는 성립하며, 수학적 귀납법의 원리에 의해 증명이 끝난다. 


이제 본 문제로 돌아가자. 


\(\displaystyle I_n(f) = \frac{1}{n^{\alpha}} \sum_{k=1}^n f \left( \frac{k}{n} \right) a_k\),  \(\displaystyle J(f) = L \int_0^1 \alpha x^{\alpha-1} f(x) dx\)라 하자. 목표는 \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} I_n(f) = J(f)\)이다.


Step 1. \(f(x)\)가 다항식일 때 Theorem 1을 증명하자. 

모든 음이 아닌 정수 \(p\)에 대해 \(X^p\)를 함수 \( x \rightarrow x^p\)라 하면, Lemma 4에 의해 \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} I_n(X^p) = J(X^p)\)다. 

선형성에 의해, 모든 다항식 \(f\)에 의해 \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} I_n(f) = J(f)\)이다.


Step 2. 임의의 연속함수 \(f(x)\)에 대해 Theorem 1을 증명하자.

\(\displaystyle M = \text{sup}_{n \ge 1} \frac{1}{n^\alpha} \sum_{k=1}^n a_k\)라 하자. 그러면 우선 \(L \le M\)이다. 또한, 삼각부등식과 supremum의 정의에서 $$ |I_n(f)-I_n(g)| \le \frac{1}{n^\alpha} \sum_{k=1}^n \left| f\left(\frac{k}{n}\right)- g\left(\frac{k}{n}\right) \right| a_k \le \left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{n^\alpha} a_k \right) \cdot \text{sup}_{[0,1]} |f-g| \le M \cdot \text{sup}_{[0,1]} |f-g| $$ $$|J(f)-J(g)| \le L\int_0^1 \alpha x^{\alpha-1} |f(x)-g(x)| dx \le L \cdot \text{sup}_{[0,1]} |f-g| \le M \cdot \text{sup}_{[0,1]} |f-g| $$이다. 이제 임의의 연속함수 \(f(x)\)와 \(\epsilon>0\)을 잡자. \(\epsilon-\delta\) 논법을 준비한다.

Weierstrass의 정리에 의해 다항식 \(P_\epsilon\)이 존재하여 \(\displaystyle \text{sup}_{[0,1]} |f-P_\epsilon| < \frac{\epsilon}{3M}\)이다.

Step 1에 의해 \(\displaystyle \lim_{n \rightarrow \infty} I_n(P_\epsilon) = J(P_\epsilon)\)이므로 자연수 \(N\)이 있어 \(n>N\)이면 \(\displaystyle |I_n(P_\epsilon)-J(P_\epsilon)| < \frac{\epsilon}{3}\)이다.

이제 삼각부등식과 위에서 얻은 모든 부등식을 종합하면, 모든 \(n>N\)에 대하여 $$  |I_n(f)-J(f)| \le |I_n(f)-I_n(P_\epsilon)|+|I_n(P_\epsilon)-J(P_\epsilon)|+|J(P_\epsilon)-J(f)| < \frac{\epsilon}{3M} \cdot M + \frac{\epsilon}{3} + \frac{\epsilon}{3M} \cdot M = \epsilon$$를 얻는다. 이는 \(\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} I_n(f) = J(f)\)라 하기에 충분한 근거다. 증명 끝.

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이번 포스팅에서는 다음 정리를 증명한다. 


Theorem 3: Lévy-Steinitz Theorem (Lévy 1905, Steinitz 1913, Gross 1917) 

\(\mathbb{R}^n\)의 벡터들로 이루어진 series \(\sum v_n\)에 대하여, 도달 가능한 극한값들의 집합 \(V\)는 공집합이거나, 적당한 \(\mathbb{R}^n\)의 subspace \(W\)과 \(v \in \mathbb{R}^n\)에 대해 \(v+W\)꼴로 표현된다. 즉, \(V\)는 공집합이거나 \(\mathbb{R}^n\)의 subspace를 적당히 translate한 형태이다.


먼저, Theorem 3을 증명하기 위해 자주 사용할 정리를 하나 소개한다. 


Theorem 4: Polygonal Confinement Theorem

임의의 자연수 \(n\)에 대하여, 적당한 상수 \(C_n\)이 존재하여 다음이 성립한다. 

\(v_1, v_2, \cdots v_M\)이 임의의 \(1 \le i \le M\)에 대하여 \(|v_i| \le 1\)을 만족하고, \(v_1+v_2+ \cdots v_M = \vec{0}\)을 만족하는 \(\mathbb{R}^n\)의 벡터들이라면, \( (2, 3, \cdots M) \)의 적당한 permutation \(P\)가 존재하여 $$ \left| v_1 + \sum_{i=2}^j v_{P(i)} \right| \le C_n $$이 모든 \(2 \le j \le M\)에 대해 성립한다. 또한, \(C_1=1\)과 \(C_n = \sqrt{4C^2_{n-1}+1} \) (단, \(n \ge 2\))으로 잡아도 괜찮다.  


Proof of Theorem 4: \(n\)에 대한 귀납법으로 문제를 해결하자. 우선 \(n=1\)부터 처리하자. 

\(n=1\)인 경우에는, \(v_1, v_2, \cdots v_M\)은 모두 절댓값이 \(1\) 이하인 실수다.

만약 \(v_1 > 0\)이라면, 부분합이 \(0\) 미만이 되는 시점까지 \(v_i \le 0\)인 \(v_i\)들을 더해준다. 

부분합이 음수가 되면, 다시 부분합이 \(0\) 초과가 되는 시점까지 \(v_i \ge 0\)인 \(v_i\)들을 더해준다.

모든 실수들의 합이 \(0\)이기 때문에 이 방법을 통해서 모든 벡터를 한 번씩 나열할 수 있다.

또한, 각 \(v_i\)들은 절댓값이 \(1\) 이하이므로, 부분합은 절대 절댓값이 \(1\) 초과가 될 수 없다. 

\(v_1 \le 0\)인 경우도 마찬가지 알고리즘으로 permutation을 찾을 수 있다. 그러므로 \(C_1=1\)을 잡아도 ok.


이제 귀납적으로 생각해보자. \(n-1\)에 대한 명제에서 \(n\)에 대한 명제로 넘어가보자. 

벡터의 개수가 유한하므로, \(v_1\)을 포함하는 벡터들의 합 중 가장 길이가 긴 것을 생각하자. 

이를 \(L=v_1+u_1+u_2+ \cdots + u_s\)라 하자. 단, \(\{u_1, u_2, \cdots u_s \} \subset \{v_2, v_3, \cdots v_M\} \)이다. 

\(L\)에서 등장하지 않은 벡터들을 \(w_1, w_2, \cdots w_t\)라 하자. 즉, \(L+w_1+w_2+ \cdots w_t = \vec{0} \)이다. 


Claim 1: 각 \(1 \le i \le s\)에 대해서, \(u_i \cdot L \ge 0\)이 성립한다.

Claim 2\(v_1 \cdot L \ge 0\)이 성립한다.

Claim 3각 \(1 \le i \le t\)에 대해서, \(w_i \cdot L \le 0\)이 성립한다.


이 Claim들의 증명은 아주 간단하므로 sketch만 한다. 모두 귀류법이고, 모순은 다음과 같이 발생한다. 

Claim 1: \(u_i\) 빼면 길이가 더 길어진다.

Claim 2: \(v_1+u_1+u_2+\cdots +u_s\)보다 \(v_1+w_1 +w_2 +\cdots + w_t\)가 더 길어진다. 

Claim 3: \(w_i\) 추가하면 길이가 더 길어진다. 


본격적으로 귀납 가정을 쓸 준비를 하자. \(L^\perp = \{v \in \mathbb{R}^n | v \cdot L = 0\} \)를 생각하자. 

\(L = \vec{0}\)이면 결과는 자명하므로 이 경우는 넘어가고, \(L \neq \vec{0}\)인 경우를 보자. 

그러면 \(L^\perp\)는 \(n-1\)차원 벡터공간이고, 여기서 귀납 가정을 사용할 각을 생각할 수 있다. 

\(\mathbb{R}^n\)의 벡터 \(v\)에 대하여, \(v' = v - \frac{v \cdot L}{|L|^2} L \)을 \(v\)의 \(L^\perp\) 성분이라고 하자. 

그러면 정의에 의해 \(v'_1 + u'_1 + u'_2 + \cdots u'_s = w'_1 + w'_2 + \cdots w'_t = \vec{0}\)이다. 

게다가, \(v'_1, u'_1, u'_2, \cdots u'_s, w'_1, w'_2, \cdots w'_t\)는 모두 \(n-1\)차원 벡터공간 \(L^\perp\)에 속하는 벡터들이다.

그러므로, 차원이 \(n-1\)인 경우에 대한 귀납 가정을 쓰기 위해 필요한 조건을 모두 갖추고 있다! (why?)


귀납 가정에 의하여, \((1,2, \cdots s)\)의 적당한 permutation \(Q\)가 있어 $$ \left| v'_1 + \sum_{i=1}^j u'_{Q(i)} \right| \le C_{n-1} $$이 모든 \(1 \le j \le s\)에 대해 성립한다. 


귀납 가정에 의하여, \((2, 3, \cdots t)\)의 적당한 permutation \(R\)가 있어 $$ \left| w'_1 + \sum_{i=2}^j w'_{R(i)} \right| \le C_{n-1} $$이 모든 \(2 \le j \le t\)에 대해 성립한다. \(R(1)=1\)이라 하자.  


이제 남은 것은 이를 합치는 것 뿐이다. \(v_1, u_1, u_2, \cdots u_s\)는 모두 \(v_1, u_{Q(1)}, u_{Q(2)}, \cdots u_{Q(s)} \) 순서로 등장하게 하고, \(w_1, w_2, \cdots w_t\)는 모두 \(w_{R(1)}, w_{R(2)}, \cdots w_{R(t)}\) 순서로 등장하게 하자. 

이제 \(L^\perp\)에 어떤 부분합을 사영시키면 그 길이는 최대 \(2C_{n-1}\)임이 보장된다.

문제는 \(L\) 방향으로 사영시킨 길이를 bound시키는 건데, 여기서 Claim 1, 2, 3이 역할을 한다. 

모든 벡터들의 합이 \(\vec{0}\)이므로, \(L\)에 해당하는 성분의 합도 \(0\)이다. 즉, 앞서 \(n=1\)에 대해 Theorem 4를 증명한 것과 동일한 방법으로 \(u_i\)들과 \(w_i\)들을 적당히 번갈아가며 배치해, \(L\)에 어떤 부분합을 사영시키면 그 길이가 최대 \(1\)이 되도록 보장할 수 있다.

여기서 \(n=1\) 증명에서 '0 이상' 역할을 \(v_1\)과 \(u_i\)들이, '0 이하' 역할을 \(w_i\)들이 한다. 

다시 강조하지만 \(u_i\)들 사이의 순서는 앞서 말했듯이 유지한다. \(w_i\)들 사이의 순서도 마찬가지로 유지한다 

이렇게 해서 permutation을 잡아주면 임의의 부분합의 길이는 최대 \(\sqrt{4C^2_{n-1}+1}\)임을 알 수 있다. 증명 끝. 


이제 Polygonal Confinement Theorem을 활용해서, 다양한 보조정리/정리들을 이끌어내보자. 


Lemma 5: \(v_1, v_2, \cdots v_m \in \mathbb{R}^n\)은 \(|v_1+v_2+ \cdots v_m| \le \epsilon\)과 \(|v_i| \le \epsilon \) (\(1 \le i \le m \))를 만족한다. 

그러면, \((1,2, \cdots m)\)의 permutation \(P\)가 존재하여, $$ \left| v_{P(1)}+v_{P(2)} + \cdots v_{P(j)} \right| \le \epsilon (C_n + 1) $$가 모든 \(1 \le j \le m\)에 대해서 성립한다. 


Proof of Lemma 5: \(v_{m+1} = -v_1 - v_2 - \cdots - v_m\)을 잡자. 이제 \(v_1 + v_2+ \cdots v_{m+1} = \vec{0}\)이다. 

또한, 각 벡터 \(v_1, v_2, \cdots v_{m+1}\)의 크기는 최대 \(\epsilon\)이다. \(\frac{1}{\epsilon} v_1, \frac{1}{\epsilon} v_2, \cdots \frac{1}{\epsilon} v_{m+1}\)에 대해서 Theorem 4를 적용해보자. 

적당한 permutation이 존재하여 \(v_{P(i)}\)들의 임의의 부분합의 크기가 \(\epsilon C_n\)이하이도록 할 수 있다.

이제 여기서 \(v_{m+1}\)을 제거해야 하는데, 이미 \(\left|v_{m+1}\right| \le \epsilon\)을 알고 있으니 삼각부등식으로 처리할 수 있다. 

삼각부등식을 적용하면, 결국 임의의 부분합의 크기가 \(\epsilon (C_n+1)\) 이하가 되도록 할 수 있음을 확인할 수 있다. 


Theorem 6: Rearrangement Theorem 

\(\{v_i\}\)는 \(\mathbb{R}^n\)에 속한 벡터들의 수열이다. 이 수열의 부분합을 \(s_1, s_2, \cdots \)라 하자. 

만약 \(S \in \mathbb{R}^n\)으로 수렴하는 \(\{s_i\}\)의 부분수열이 존재하고, \(|v_n|\)이 \(n \rightarrow \infty\)에서 \(0\)으로 수렴한다면, 적당한 \(\{v_i\}\)의 rearrangement가 존재하여 rearrange된 수열의 합이 \(S\)로 수렴한다.  


Proof of Theorem 6: \(s_{m_1}, s_{m_2}, \cdots , s_{m_k}, \cdots \)가 \(S\)로 수렴한다고 하자.

핵심은 각 \(i=1, 2, \cdots\)에 대하여 \(v_{m_i+1} , v_{m_i+2}, \cdots v_{m_{i+1}}\)를 하나의 패키지로 보는 것이다. 

각 패키지에 속한 벡터들을 Lemma 5를 활용해 적당히 rearrange 하여, 각 \(m_k < T <m_{k+1}\)에 대해 \(s_T\)와 \(s_{m_k}\) 사이의 차이가 충분히 작도록 만드는 것이 핵심 아이디어다. 


\(\delta_k = |s_{m_k}-S| \)라 하면, \(\delta_k \rightarrow 0\)이다. 한편, $$ \left| \sum_{i=m_k+1}^{m_{k+1}-1} v_i \right| = \left| s_{m_{k+1}} - s_{m_k} - v_{m_{k+1}} \right| \le \delta_{k+1} + \delta_k + |v_{m_{k+1}}| $$이고, \( \epsilon_k = \text{max}(\delta_{k+1}+\delta_k, \text{sup}_{i \ge m_k} |v_i|) \)라 정의하면 \(\epsilon_k \rightarrow 0\)이고 앞선 관찰에 의해 $$ \left| \sum_{i=m_k+1}^{m_{k+1}-1} v_i \right| < 2 \epsilon_k $$이 성립한다. 


이제, Lemma 5에 의해 \((m_k+1, m_k+2, \cdots m_{k+1}-1)\)의 permutation \(P_k\)가 존재하여, $$ \left| \sum_{i=m_k+1}^r v_{P_k(i)} \right| \le 2\epsilon_k (C_n+1) $$가 모든 \(m_k+1 \le r \le m_{k+1}-1\)에 대해 성립한다. 


각 패키지를 저렇게 rearrange했다고 가정하자. \(m_k < T <m_{k+1}\)라고 하면, \(|s_T-S| \le \delta_k + 2\epsilon_k (C_n+1) \)가 성립함을 삼각부등식으로 쉽게 확인할 수 있다. 또한, 이를 통해 rearrange된 수열은 그 합이 \(S\)로 수렴하게 됨을 확인할 수 있다. 


Lemma 7: \(v_1, v_2, \cdots , v_m\)은 모두 \(\mathbb{R}^n\)의 벡터들이고, \(w=\sum_{i=1}^m v_i\)이다. \(t\)는 \(0<t<1\)을 만족하는 실수이며, \(|v_i| \le \epsilon\)가 모든 \(1 \le i \le m\)에 대하여 성립한다고 한다. 이때, 다음 둘 중 적어도 하나가 성립한다. 

1. \(|v_1 - tw| \le \epsilon \sqrt{C^2_{n-1}+1} \)

2. \((2,3, \cdots , m)\)의 적당한 permutation \(P\)과 \(2 \le r \le m\)이 존재하여, $$ \left| v_1 + \sum_{i=2}^r v_{P(i)} - tw \right| \le \epsilon \sqrt{C^2_{n-1}+1} $$


Proof of Lemma 7: \(w = \vec{0}\)인 경우는 자명하므로, \(w \neq \vec{0}\)을 가정하자.

\(n\)에 대한 귀납법으로 보이자. (Theorem 4의 증명 느낌이 많이 나는 증명이다.)

우선 \(n=1\)부터 보자. 일반성을 잃지 않고, \(w>0\)을 가정한다. 

\(v_1+v_2+ \cdots v_i > tw\)가 성립하는 최소의 \(i\)를 \(s\)라 하자. (\(i=m\)인 경우에 성립하니 최소의 \(i\)도 존재한다.)

그러면 \(v_1+v_2+ \cdots + v_{s-1} \le tw\)이므로, \(|v_1+v_2+ \cdots v_s - tw| \le \epsilon \)이 성립한다. 


\(w^\perp\)를 생각하자. \(v'\)를 \(v - \frac{w \cdot v}{|w|^2} w\)라 정의하면, \(v'_1 + v'_2 + \cdots + v'_m = \vec{0}\)이다.  

한편, \(|v_i| \le \epsilon\)이므로 \(|v'_i| \le \epsilon\)도 성립하고, Theorem 4에 의해 적당한 \((2,3, \cdots m)\)의 permutation \(P\)가 존재하여 $$ \left|v'_1 + \sum_{i=2}^j v'_{P(i)} \right| \le \epsilon C_{n-1} $$가 모든 \(2 \le j \le m\)에 대해 성립한다. 


또한, \( \sum_{i=1}^m \frac{v_{P(i)} \cdot w}{|w|} = |w| \)가 성립하므로, \(n=1\)인 경우를 생각하면 적당한 \(r\)이 있어 $$ \left| \sum_{i=1}^r \frac{v_{P(i)} \cdot w}{|w|} - t|w| \right| \le \epsilon$$이 성립한다. 여기서 \(P(1)=1\)이며, \(\frac{v_i \cdot w}{|w|} \le |v_i| \le \epsilon\)임에 주목하자. 


두 부등식은 각각 \(w\)와 수직한 성분, \(w\)와 평행한 성분에 대한 부등식을 보여준다. 

두 부등식을 합치면 \( \left| v_1 + \sum_{i=2}^r v_{P(i)} - tw \right| \le \epsilon \sqrt{C^2_{n-1}+1} \)을 바로 얻을 수 있다. 증명 끝. 


이제 모든 준비가 끝났다. 


Theorem 3: Lévy-Steinitz Theorem (Lévy 1905, Steinitz 1913, Gross 1917) 

\(\mathbb{R}^n\)의 벡터들로 이루어진 series \(\sum v_n\)에 대하여, 도달 가능한 극한값들의 집합 \(V\)는 공집합이거나, 적당한 \(\mathbb{R}^n\)의 subspace \(W\)과 \(v \in \mathbb{R}^n\)에 대해 \(v+W\)꼴로 표현된다. 즉, \(V\)는 공집합이거나 \(\mathbb{R}^n\)의 subspace를 적당히 translate한 형태이다.


Proof of Theorem 3: 기본 밑밥부터 깔아놓자. \(V\)가 공집합이 아니라고 가정하고, \(v \in V\)를 하나 가져온 후, \(v_1\)을 \(v_1- v\)로 교체하자. 그러면 \(0 \in V\)라고 가정할 수 있으며, 이제 \(V\)가 subspace임을 보이기만 하면 충분하다. 이를 위해서는 \(s_1, s_2 \in V \implies s_1+s_2 \in V\)를 보이고, \(s_1 \in V, t \in \mathbb{R} \implies ts_1 \in V\)를 보여야 한다. 


Step 1. \(s_1, s_2 \in V \implies s_1+s_2 \in V\)를 보이자. 

\(0\)으로 수렴하는 양의 실수로 이루어진 수열 \(\{\epsilon_m\}\)을 잡자. 

\(s_1\)으로 수렴하는 rearrangement가 존재하므로, 유한집합 \( I_1\)이 있어 \(1 \in I_1\)과 \(|\sum_{i \in I_1} v_i - s_1 | < \epsilon_1 \)을 만족한다. 

\(0\)으로 수렴하는 rearrangement가 존재하므로, 유한집합 \(J_1\)이 있어 \(I_1 \subseteq J_1\)과 \(|\sum_{i \in J_1} v_j| < \epsilon_1\)을 만족한다.

\(s_2\)으로 수렴하는 rearrangement가 존재하므로, 유한집합 \(K_1\)이 있어 \(J_1 \subseteq K_1\)과 \(|\sum_{i \in K_1} v_j - s_2| < \epsilon_1\)을 만족한다.

\(s_1\)으로 수렴하는 rearrangement가 존재하므로유한집합 \( I_2\)이 있어 \(K_1 \in I_2\)과 \(|\sum_{i \in I_2} v_i - s_1 | < \epsilon_2 \)을 만족한다. 


이를 반복해주면, 결국 $$ \{1,2, \cdots , m-1\} \subset K_{m-1} \subset I_m \subset J_m \subset K_m $$ $$\left |\sum_{i \in I_m} v_i - s_1 \right| < \epsilon_m \text{,                   } \left|\sum_{i \in J_m} v_i \right| < \epsilon_m \text{,                  } \left|\sum_{i \in K_m} v_i - s_2 \right| < \epsilon_m$$ 

이제 다음 순서로 벡터들을 배치한다. 


1. 먼저, \(I_1\)에 속한 벡터들을 배치한다.

2. 그 뒤에, \(J_1 \cap I^C_1\)에 속한 벡터들을 배치한다.

3. 그 뒤에, \(K_1 \cap J^C_1\)에 속한 벡터들을 배치한다.

4. 그 뒤에, \(I_2 \cap K^C_1\)에 속한 벡터들을 배치한다.

5. 이를 계속해서 반복한다. 


이렇게 벡터들을 배치하면, 하나의 rearrangement가 된다는 사실은 자명하다. 이 permutation을 \(P\)라 하자.

이제 \(i_m=|I_m|\), \(j_m=|J_m|\), \(k_m=|K_m|\)이라 하면 $$\left |\sum_{i=1}^{i_m} v_{P(i)} - s_1 \right| < \epsilon_m \text{,                   } \left|\sum_{i=1}^{j_m} v_{P(i)} \right| < \epsilon_m \text{,                  } \left|\sum_{i=1}^{k_m} v_{P(i)} - s_2 \right| < \epsilon_m$$임을 바로 확인할 수 있다. 


삼각부등식을 사용해주면, $$ \left| \sum_{i=1}^{i_m} v_{P(i)} + \sum_{i=j_m+1}^{k_m} v_{P(i)} - (s_1+s_2) \right| < 3\epsilon_m $$이 성립함을 확인할 수 있다. 이제 Rearrangement Theorem을 사용할 각을 재자. 

여기서 \(v_{P(j_m+1)}, v_{P(j_m+2)}, \cdots v_{P(k_m)}\)와 \(v_{P(i_m+1)}, v_{P(i_m+2)} , \cdots v_{P(j_m)} \)을 통째로 자리바꿈하자. 

우선 현재 벡터들의 배치는 여전히 하나의 rearrangement이다.

또한, 이 최종 수열의 부분합 수열을 생각하면 \(s_1+s_2\)로 수렴하는 부분수열이 존재한다. 

그러므로, Rearrangement Theorem에 의해 \(s_1+s_2 \in V\)임을 확인할 수 있다. Step 1 끝. 


Step 2: \(s_1 \in V, t \in \mathbb{R} \implies ts_1 \in V\)를 보이자. 

이미 \(t \in \mathbb{N}\)에 대해서는 원하는 결과를 확인했으며, 이 점을 최대한 활용한다. 
\(t=-1\)과 \(0<t<1\)에 대해서 원하는 결론을 보이면, Step 1의 결과를 섞어, 모든 \(t\)에 대해서도 증명이 끝난다.
우선 \(0<t<1\)부터 보자. \(t\)를 고정하고 생각하겠다. Step 1의 논의를 그대로 가져오면, 삼각부등식에 의해 $$ \left| \sum_{i=j_m+1}^{k_m} v_{P(i)} - s_2 \right| < 2 \epsilon_m $$이 성립한다. 

이제 \(\delta_m = \text{max}_{j_m+1 \le i \le k_m} |v_{P(i)}|\), \(u_m = \sum_{i=j_m+1}^{k_m} v_{P(i)} - s_2\)라 하자. 
Lemma 7에 의해, \((P(j_m+1), P(j_m+2), \cdots P(k_m))\)의 permutation \(Q_m\)과 자연수 \(r_m\)이 있어 $$ \left| \sum_{i=j_m+1}^{r_m} v_{Q_m(P(i))} - t(s_2+u_m) \right| \le \delta_m \sqrt{C^2_{n-1}+1} $$를 만족한다.  
여기에 \(|tu_m|<2\epsilon_m\)과 \(\left| \sum_{i=1}^{j_m} v_{P(i)} \right| < \epsilon_m\), 그리고 삼각부등식을 쓰면 $$ \left| \sum_{i=1}^{j_m} v_{P(i)} + \sum_{i=j_m+1}^{r_m} v_{Q_m(P_i)} - ts_2 \right| < \delta_m \sqrt{C^2_{n-1}+1} + 3 \epsilon_m $$임을 얻을 수 있고, 우변이 \(0\)으로 수렴함도 확인할 수 있다.
결국 이 rearrangement의 부분합 수열은 \(ts_2\)로 수렴하는 부분수열을 가지고 있다. 
다시 Rearrangement Theorem을 쓰면 증명이 끝난다. 이제 \(t=-1\)을 처리하면 끝이다. 

삼각부등식에 의해서, $$\left| \sum_{i=1}^{j_m} v_{P(i)} + \sum_{i=k_m+1}^{j_{m+1}} v_{P(i)} - (-s_2) \right| < \epsilon_{m+1} + 2\epsilon_m $$이 성립함을 확인할 수 있다. 
이제 \(v_{P(k_m+1)}, v_{P(k_m+2)}, \cdots , v_{P(j_{m+1})}\)과 \(v_{P(j_m+1)}, v_{P(j_m+2)}, \cdots , v_{P(k_m)}\)의 위치를 통째로 자리바꿈하자. 
이렇게 되면 이 rearrangement의 부분합 수열은 \(-s_2\)로 수렴하는 부분수열을 가지게 된다.
마찬가지로, Rearrangement Theorem을 쓰면 증명이 끝난다. 끝. 


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2개의 포스팅에 걸쳐서, \( \mathbb{R}^n \) 벡터의 수열들과, 이들의 Rearrangement의 수렴성에 대해서 다룬다.


이번 글에서는 \(n=1\)인 경우, 즉 우리가 익숙한 실수 수열들의 Rearrangement와 수렴성에 대해서 다룬다.

그리고 이를 기반으로 해서, 일반적인 \( \mathbb{R}^n \) 벡터의 수열들에 대한 여러 직관/아이디어를 다룬다.


먼저 Rearrangement의 정의를 짚고 넘어가자. Rudin p. 75에 있는 Definition 3.52를 그대로 가져온다.


Definition: \(k_n\) (\(n=1,2, \cdots \))은 모든 자연수가 정확히 한 번씩 등장하는 수열이다. 즉, \(k_n\)은 자연수의 집합에서 자연수의 집합으로 가는 전단사함수라고 볼 수 있다. 이제 \(a'_n=a_{k_n}\)이라 하면, \(\sum a'_n\)은 \(\sum a_n\)의 Rearrangement라고 한다. 



Theorem 1: (Riemann's Rearrangement Theorem) 

(1) \(\sum a_n\)이 절대수렴하는 실수 series라면, 모든 Rearrangement \(\sum a'_n\)이 수렴하고, 같은 값으로 수렴한다. 


(2) \(\sum a_n\)이 수렴하지만 절대수렴하지는 않는 실수 series라 하자. 이제 $$ -\infty \le \alpha \le \beta \le \infty$$인 \(\alpha, \beta\)를 잡으면, 적당한 Rearrangement \(\sum a'_n\)가 존재하여 다음이 성립한다. $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \text{inf  } s'_n = \alpha, \text{     } \lim_{n \rightarrow \infty} \text{sup  } s'_n = \beta $$ 물론 여기서 \(s'_n = \sum_{i=1}^n a'_i \)는 Rearrangement의 Partial Sum이다. 


Proof of Theorem 1:  


(1) \(\sum |a_i|\)가 수렴하므로, 임의의 \(\epsilon > 0\)에 대해 \(m \ge n \ge N\)이면 \(\sum_{i=n}^m |a_i| < \epsilon\)이 성립하는 적당한 자연수 \(N\)이 존재한다. 이제 \(k_1, k_2, \cdots k_p\)에 \(1, 2, \cdots N\)이 모두 포함되는 자연수 \(p\)를 설정하자. 앞선 Definition에서 쓴 notation을 그대로 가져왔다. 이제 \(n > p\)라면, \(s_n - s'_n = \sum_{i=1}^n (a_i - a'_i) \)에서 \(a_1, a_2, \cdots a_N\)은 전부 상쇄되며, \(N\) 이상의 index에 해당하는 수열의 값들은 식에서 최대 한 번 등장한다. 직접 써보면서 생각하자. 결론적으로 \(|s_n-s'_n| < \epsilon \)이고, 결국 \(\epsilon - \delta\) 정의에 의해 \(\{s'_n\}\)도 \(\{s_n\}\)과 같은 값으로 수렴한다. 증명에서 \(a_i\)가 실수임을 사실상 쓰지 않았다. 즉, \(\mathbb{R}^n\)에서도 이 정리는 성립.  


(2) \(p_n = \frac{a_n + |a_n|}{2}\), \(q_n = \frac{|a_n|-a_n}{2}\)라 하자. 그러면 \(p_n-q_n = a_n\), \(p_n+q_n = |a_n|\)이며 \(p_n, q_n \ge 0\)이다. \(\sum a_n\)은 수렴하고, \(\sum |a_n|\)은 발산하므로, \(\sum p_n\)과 \(\sum q_n\)은 모두 발산한다. 즉, 이 친구들은 unbounded. 한편, \(P_1, P_2, \cdots \)를 \(a_n\)의 nonnegative term을 등장 순서대로 나열한 것이라고 하고, \(Q_1, Q_2, \cdots \)를 \(a_n\)의 negative term의 절댓값을 등장 순서대로 나열한 것이라고 하자. 그러면 \(P_i\)들은 \(p_i\)들과 zero term에서만 차이가 나고, \(Q_i\)들은 \(q_i\)들과 zero term에서만 차이가 난다. \(a_i\)의 부호에 따라서, \(p_i, q_i\)가 어떻게 표현되는 지를 생각해보자. 아무튼 여기서 \(\sum P_i\)와 \(\sum Q_i\)는 발산함을 알 수 있다. 이제 우리의 목표는 \(P\)에서 원소를 몇 개 배치, \(Q\)에서 원소를 몇 개 배치하는 것을 반복하여, 부분합의 값이 \(\alpha\)와 \(\beta\) 사이를 돌도록 하는 것이다. 이를 위해서, 자연수로 이루어진 증가수열 \(m_n, k_n\)을 적당히 잡아서, $$P_1 + P_2 + \cdots P_{m_1} - Q_1 - Q_2 - \cdots Q_{k_1} + P_{m_1+1} + P_{m_1+2} + \cdots + P_{m_2} - Q_{k_1+1} - Q_{k_1+2} - \cdots - Q_{k_2} + \cdots $$ 형태의 Rearrangement를 만들 것이다. 


이를 위해서, 실수 수열 \(\{\alpha_n\}, \{\beta_n\} \)를 잘 잡아서, \(\alpha_n \rightarrow \alpha\), \(\beta_n \rightarrow \beta\)가 성립하고, \(i<j\)면 \(a_i \le a_j \le \alpha \le \beta \le b_j \le b_i\)가 성립하도록 하자. 또한, \(b_1 > 0\)이 성립하도록 설정하자. 이제 \(m_1, k_1\)은 $$P_1 + P_2 + \cdots P_{m_1} > \beta_1, \text{    } P_1 + P_2 + \cdots P_{m_1} - Q_1 - Q_2 - \cdots Q_{k_1} < \alpha_1$$이 성립하는 최소의 자연수로 설정한다. 이 방식으로 \(m_n, k_n\)을 계속해서 잡아나간다. 이것이 가능한 이유는 \(\sum P_i\)와 \(\sum Q_i\)는 발산하기 때문이다. 이제 이렇게 Rearrangement를 잡아주면, \(P_{m_n}\)까지 더한 Partial Sum은 \(n \rightarrow \infty\)에서 \(\beta\)로 수렴하고, \(Q_{k_n}\)까지 더한 Partial Sum은 \(n \rightarrow \infty\)에서 \(\alpha\)로 수렴함을 확인할 수 있다. 또한, $$ \lim_{n \rightarrow \infty} \text{inf  } s'_n = \alpha, \text{     } \lim_{n \rightarrow \infty} \text{sup  } s'_n = \beta $$까지 직접 확인할 수 있다. 확인하는 과정은 크게 어렵지 않고, routine한 과정이므로 생략한다. 증명 끝. 


이제 우리는 \(\mathbb{R}^n\)의 벡터로 이루어진 series와 이들의 Rearrangement에 대해 생각한다. 


Theorem 1을 통하여 우리는 \(\mathbb{R}\)의 원소들로 이루어진 series가 수렴할 경우, 절대수렴 여부에 따라서 그 Rearrangement가 가질 수 있는 '범위'가 달라진다는 것을 확인했다. 급수가 절대수렴할 경우, 어떻게 Rearrangement를 잡더라도 그 급수는 기존 급수와 같은 값으로 수렴하며, 이는 \(\mathbb{R}^n\)에서도 동일하다. 급수가 조건수렴할 경우, Rearrangement를 적당히 잘 잡아서 새로운 수열이 가지는 subsequential limit들의 superior, inferior까지도 우리 마음대로 설정할 수 있음을 보였다.


이제 다음과 같은 질문이 자연스럽게 나올 수 있을 것이다.


Question 2:

\(\mathbb{R}^n\)의 벡터로 이루어진 series \(\sum a_n\)이 있다. 이제, 이 series의 적당한 Rearrangement \(\sum a'_n\)이 존재해 \(\sum a'_n\)이 \(v \in \mathbb{R}^n \)으로 수렴하면, \(v\)를 "도달 가능한 극한값"이라 하자. 도달 가능한 극한값의 집합을 \(V\)라 하면, \(V\)는 어떤 형태일까?   


일단 \(n=1\)인 경우, \(V\)는 '공집합', '점', 그리고 '수직선 전체' 중 하나임을 확인하자. 


조금 생각을 해보면, 만약 급수의 모든 항이 \(\mathbb{R}^n\)의 subspace \(W\)의 원소라면, (즉, \(a_n \in W\)) 어떻게 Rearrangement를 하더라도 Rearrangement의 수렴값 \(v \in \mathbb{R}^n\)이 존재한다면 \(v \in W\)가 성립한다는 사실을 알 수 있다.  


이 사실은 다양한 방법으로 설명할 수 있다. \(W\)의 orthogonal complement를 생각하는 것이 하나의 방법이다. Series의 각 원소들이 \(W\)의 orthogonal complement의 basis의 원소들과 모두 수직하므로, 모든 Series의 부분합도 이 성질을 만족하고, (dot product를 생각하자!) 결론적으로 \(v\)도 이 성질을 가져가게 된다. Orthogonal Complement의 Orthogonal Complement는 자기 자신임이 잘 알려져 있고, 결국 \(v\)는 \(W\) 안에 속하게 된다. 이렇게 증명 끝. 또 다른 방법으로는, subspace가 closed한 집합임을 설명하는 방법이 있다. 이것도 잘 알려진 사실이다.


이제 다시 \(n=1\)의 경우를 보자. \(V\)가 일종의 vector space 형태로 나올 것이라는 느낌이 든다. 


여기서 한 층 더 깊게 생각해보자. 조건수렴하는 실수 series \(\sum a_n\)이 있다고 하자. 

Riemann Rearrangement Theorem에 의해, 우리는 이 series를 잘 Rearrange하여, 원하는 곳으로 수렴시킬 수 있다. 

이제 \(b_n = (a_n + \frac{1}{2^n}, 2a_n, 3a_n - \frac{1}{2^n}) \)로 정의된 \(\mathbb{R}^3\)의 벡터들을 생각하자. 

이제부터는 \(\sum b_n\)을 생각하자. 이 series를 잘 Rearrange하면, 어떤 수렴값을 얻을 수 있을까?

조금 고민해보면, 결국 \(V\)는 \((1,0,-1)+t(1,2,3)\) 형태의 벡터로 이루어졌음을 알 수 있다. 

여기서 series의 합은 \(n=1\)부터 시작한다고 가정했다. 아무튼 우리는 \(V\)의 형태에 대한 직관을 하나 더 얻었다.     


이제 우리의 직관이 참임을 증명해보자. 이 증명은 후속 포스팅에서 다룬다. 우리의 최종 목표는 다음과 같다. 

 

Theorem 3: Lévy-Steinitz Theorem (Lévy 1905, Steinitz 1913, Gross 1917) 

\(\mathbb{R}^n\)의 벡터들로 이루어진 series \(\sum a_n\)에 대하여, 도달 가능한 극한값들의 집합 \(V\)는 공집합이거나, 적당한 \(\mathbb{R}^n\)의 subspace \(W\)과 \(v \in \mathbb{R}^n\)에 대해 \(v+W\)꼴로 표현된다. 즉, \(V\)는 공집합이거나 \(\mathbb{R}^n\)의 subspace를 적당히 translate한 형태이다.

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