인상 깊었던 MO 문제 #1: 2017-2018 겨울학교 모의고사 시험 2 문제 5번

문제

\( a_1, a_2, \cdots a_n \)은 \( a_1 a_2 \cdots a_n = 1 \)과 \( 0<a_1 \le a_2 \cdots \le a_n \)을 만족하는 실수들이다.

각 \( 1 \le k \le n \)에 대하여, \( b_k = 2^k (1+a^{2^k}_k) \)라고 정의하자. 이때 다음 부등식이 성립함을 보여라.

$$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{b_i} \ge \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{n+1}} $$

스포 방지선

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많은 학생들이 삽질을 했고, 일부가 아주 복잡한 테크닉을 활용해서 힘겹게 푼 문제다. 준-보스 문제.

나는 이 문제를 당시에 아주 깔끔하게 풀었는데, 지금 생각해보면 이거 덕분에 점수를 좀 딴 것 같다.

(증명) 일단 다음 Lemma를 먼저 증명한다. 

(Lemma) \( x, y \)는 \( 0< x \le 1, y>0 \)을 만족하는 실수들이다. 이때 다음 부등식이 성립한다.

$$ \frac{1}{2(1+x)} + \frac{1}{4(1+y)} \ge \frac{1}{4} + \frac{1}{4(1+x^2y)} $$

(Proof of Lemma) 항을 적당히 묶어주면서 계산하자. 

$$ \frac{1}{2(1+x)} + \frac{1}{4(1+y)} \ge \frac{1}{4} + \frac{1}{4(1+x^2y)} $$

$$ \iff \frac{1}{2(1+x)} - \frac{1}{4} \ge \frac{1}{4(1+x^2y)} - \frac{1}{4(1+y)} $$

$$ \iff \frac{1-x}{1+x} \ge \frac{(1-x^2)y}{(1+y)(1+x^2y)} \iff (1+y)(1+x^2y) \ge (1+x)^2y$$

$$ \iff 1+x^2y + y+x^2y^2 \ge y+2xy+x^2y \iff (xy-1)^2 \ge 0$$

등호 성립은 보다시피 \( x=1 \) 또는 \( xy=1 \)에서 이루어진다. 

본 문제로 돌아오자. \(n \)에 대한 귀납법으로 문제를 해결한다. \( n=1 \)은 자명.

\( n=2 \)인 경우는 Lemma에 \( x=a^2_1, y=a^4_2 \)를 넣어주면 바로 성립함을 확인할 수 있다.

이때, 등호 성립 조건은 Lemma와 문제에서 주어진 조건에 의해 \( a_1 = a_2 = 1 \)이다. 

이제 귀납법을 적용해보자. 엄밀한 귀납 서술은 생략한다. 

\( a_1 a_2 \cdots a_n = 1 \)과 \( 0<a_1 \le a_2 \cdots \le a_n \)를 만족하는 \( a_1, a_2, \cdots a_n \)를 잡자. 

이제, \( c_1=a^2_1a^2_2 \), \(c_2=a^2_3 \), \(c_3 = a^2_4 , \cdots ,c_{n-1} = a^2_n \)로 새로운 변수를 두자.

Fact. \( 0<c_1 \le c_2 \le \cdots \le c_{n-1} \)이고, \( c_1c_2 \cdots c_{n-1} = 1 \)이다. 

첫 번째 사실은 \( a_1 \le 1\)과 \(a_i \le a_{i+1} \)에서 자명하고, 두 번째 사실은 자명하다.

즉, \( c_i\)들을 가지고 (\(n\)이 하나 줄었으니) 귀납 가정을 사용할 수 있다. 여기서 우리는 

$$ \frac{1}{2(1+a^4_1a^4_2)} + \frac{1}{4(1+a^8_3)} + \cdots \frac{1}{2^{n-1}(1+a^{2^n}_n)} = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{2^k(1+c^{2^k}_k)} \ge \frac{1}{2}-\frac{1}{2^n} $$를 얻는다. 이제 \( x= a^2_1, y=a^4_2 \)에 대하여 Lemma를 적용시켜주면, 

$$ \sum_{i=1}^n \frac{1}{b_i} = \frac{1}{2(1+a^2_1)} + \frac{1}{4(1+a^4_2)} + \sum_{k=3}^n \frac{1}{2^k(1+a^{2^k}_k)} $$

$$ \ge \frac{1}{4} + \frac{1}{4(1+a^4_1a^4_2)} + \sum_{k=3}^n \frac{1}{2^k(1+a^{2^k}_k)} \ge \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2^n} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2^{n+1}} $$

등호 성립 조건은 \( a_1 = a_2 = \cdots a_n = 1 \)인 경우이고, 이 경우 밖에 없음을 귀납적으로 보일 수 있다.

스케치만 하자면, \( (a_1, a_2, \cdots a_n) \)에서 등호가 성립하면 \( (a^2_1a^2_2, a^2_3, \cdots a^2_n) \)에서도 등호가 성립하고, 귀납적으로 \( a_1a_2=a_3= \cdots = a_n=1 \)임을 알 수 있다. 이제 Lemma에서의 등호 성립 조건에 의하여 \( a_1=a_2=1 \)를 얻는다. 

초기 조건은 (\(n=1,2\)) 앞에서 했으니 증명이 끝난다. 이에 이 문제에 대한 증명이 끝난다. \( \blacksquare \)