정말 간단하게, 의식의 흐름대로 쓰려고 한다. 종이 안 쓰고 글 쓰면서 푼 거라 깔끔하지는 않다.

이번에 29, 30이 진짜 쉽긴 한 것 같다 ㅋㅋ; 번호는 짝수 기준. 


20번.

  • 앞면이 5번 이상 나오면 무조건 연속해서 나오는 경우가 있다.
  • 여기서 \(\binom{7}{5}+\binom{7}{6}+\binom{7}{7} = 29\)개.
  • 앞면이 4번 나오면, 한 경우를 제외하면 연속해서 나오는 경우가 있다.
  • 여기서 \(\binom{7}{4}-1 = 34\)개.
  • 앞면이 3번 나오는 경우를 보자. 전체 \(35\)개 중, 연속해서 나오지 않는 경우는 몇 개?
  • \(1 \le x_1 < x_2 - 1 < x_3 - 2 \le 5\)로 생각하면 \(\binom{5}{3} = 10\)개.
  • 그러니 총 \(29+34+35-10 = 88\)개. 답은 \(\frac{88}{2^7} = \frac{11}{16}\)이니 1번.

21번. 

  • 절댓값과 미분 가능성에 관한 문제는 정말 많이 나오는 것 같다.
  • 핵심은 절댓값 안에 있는 값이 0인 경우에, 도함수가 0이어야 한다는 것이다.
  • 일단 \(f(x) = e^t(x-t)+e^t\)라는 것은 쉽게 알 수 있다.
  • 그러니 우리는 \(|e^t(x-t)+e^t + k - \ln x|\)에 대하여 고민해야 한다.
  • 일단 \(h(x) = e^t(x-t) + e^t + k - \ln x\)를 보자.
  • \(h'(x) = e^t - \frac{1}{x}\)이니, \(h\)는 감소 후 증가한다.
  • \(h\)의 최솟값이 \(0\) 이상이면, 문제 없다.
  • \(h\)의 최솟값이 음수면, \(h(x)=0\)인 지점에서 \(h'(x)=0\)이어야 한다.
  • 그런데 이러면 결국에는 \(h(x)=0\)인 지점이 그래프 개형상 극점이어야 한다.
  • 결론: \(h\)의 최솟값이 \(0\) 이상이어야 한다.
  • \(h\)의 최솟값은 \(x = e^{-t}\)에서 얻어진다. 
  • 즉, \(h(e^{-t}) = 0\)이 되도록 하는 \(k\)의 값이 \(g(t)\)다.
  • 정리하면 \(g(t) = (t-1)e^t - (t+1)\)을 얻는다.
  • 이제 \(g\)의 그래프 개형을 그리면, (ㄱ)이 참임을 확인할 수 있다. 
  • \(g\)가 연속이며, \(g\)의 최솟값이 음수이니까 (ㄱ)이 참임은 자명하다.
  • (ㄴ)도 쉽게 확인할 수 있다. \((c-1)e^c = (c+1)\)이면, \((-c-1)e^{-c} = (-c+1)\)이다. 간단 식 조작.
  • 마지막으로 (ㄷ)을 보자. \(g(x)\)의 개형을 다시 생각해보자.
  • \(m\)이 최소라는 것은 \(g(\alpha) = g(\beta) = 0\)이라는 것이다.
  • 이제 \(g'(x) = xe^x - 1\)임을 생각하면, \(\displaystyle \frac{1+g'(\beta)}{1+g'(\alpha)} = \frac{\beta e^{\beta}}{\alpha e^{\alpha}}\)다.
  • 그런데 우리는 (ㄴ)에서 \(\alpha = -\beta\)임을 얻었다. 
  • 그러니 이 식은 다시 \(-e^{2\beta}\)로 바뀐다. 이제 확인해야 하는 것은 \(\beta > 1\)인지 여부다.
  • 이것은 매우 쉬운 일이다. \(\beta > 1\)임을 쉽게 확인할 수 있고, 결론적으로 (ㄷ)도 참이다. 답은 5번.

29번.

  • 구면 위의 점 \((a,b,c)\)에서 그은 접평면의 방정식은 \(ax+by+cz=1\)이다.
  • 그러니 접점을 찾으려면, \(a^2+b^2+c^2=3a-3b+3c=-2a+7b-2c=1\)인 \((a,b,c)\)를 찾으면 된다.
  • \(b, c\)를 \(a\)에 대하여 표현한 뒤, \(a\)에 대한 이차방정식을 풀면 된다.
  • 실제로 접점이 될 수 있는 두 점을 계산할 수 있다.
  • 이제 사면체의 부피를 계산하면 되는데 고등학교 과정 내에서 쓰는 방법으로 적당히 계산하면 된다.
  • 나는 귀찮아서 wolframalpha + determinant 썼다. 아마 \(\frac{20}{9} \sqrt{3}\)이 나와서 답이 \(29\).  

30번.

  • 직관적으로, 한 점에서 만나려면, 그 점에서 두 함수의 값과 도함수가 모두 같아야 한다.
  • 직관을 엄밀하게 설명하고 싶다면, 볼록/오목성을 조금만 생각해보면 알 수 있다.
  • \(t^3\ln(x-t) = 2e^{x-a}\), \(\frac{t^3}{x-t} = 2e^{x-a}\)인 \(x\)가 있다.
  • \((x-t)\ln(x-t) =1\)을 여기서 얻는다. 
  • 그런데 \(h(x) = x\ln x\)의 개형을 생각해보면, \(x \ln x =1\)을 만족하는 실수 \(x\)는 유일하다.
  • 이 값을 \(u\)라 설정하면, \(x-t=u\)가 강제된다. 
  • 다시 대입하면, \(\frac{t^3}{u}  = 2e^{t+u-a}\)를 얻고, 정리하면 \( f(t)=a = t+u - \ln \frac{t^3}{2u}\)다.
  • 이를 \(t\)에 대해서 미분하면, \(f'(t) = 1 - \frac{3}{t}\)를 얻는다. 이제 계산하면 답은 \(64\).


D-1


시험을 하루 앞두고 마지막 점검에 들어갔다. 컨디션이 많이 안 좋아보였다. 

문제 푸는 방법도 잘 안 보이고... 계산도 계속 실수를 해서 자신감이 조금 떨어지고... 정신적으로 힘들었다.


자기 직전에 멘탈 마지막으로 잡으려고 레미제라블의 'One Day More'를 들었는데, 멘탈이 더 깨졌다.

솔직히 내일이 심판의 날이네 주의 뜻을 알 수 있는 날이네 뭐네 이러는데 멘탈에 도움이 될리가 없다 ㅋㅋ


잠도 더럽게 안 와서 12시 근처에 잔 것 같다. 시작되지도 않은 시험에 크게 말린 느낌이 들어서 걱정이 앞섰다.


D-Day


새벽 5시에 일어나서 씻고 바로 출발, 새벽 6시 30분 정도에 익숙한 수리과학부 건물에 도착했다.

잠을 좀 깨고 정신을 차려서 면접 건물로 이동하고, 학교 선생님의 격려 속에서 친구와 같이 면접 대기실로 갔다.


면접 장소인 4층에 올라가보니, 복도에 책상이 깔려 있었다. 여기서부터 약간 소름 ㅋㅋ

대기실로 들어가서, 주변에 아는 사람이 있나 좀 둘러보았더니, 면접자 라인업이 상당히 살벌했다.

특히 서울과학고에서 온 친구들은 거를 타선이 없을 정도로 수학을 잘하는 친구들만 와서 무서웠다.


면접을 보는 순서를 곧 알려주셨고, 내가 5번째 순서로 면접을 본다는 사실을 확인했다.

대기하는 동안에는 내가 전날 확인해둔 자소서 관련 내용을 다시 상기하고, 프린트 몇 개 꺼내서 읽었다. 

면접 대기실의 분위기가 그렇게 무겁지는 않아서 좋았던 것 같다. 학생들의 긴장을 풀어주기 위해 많이 노력하신 것 같다.


아무튼 내가 면접을 보는 시간인 9:45는 빠르게 다가왔고, 운명의 45분이 시작되었다. 


문제


1. \( A(-10,2), B(10,2)\)가 \(xy\) 평면 위에 있다. 또한, 점 \(C, D\)는 \(x\)축 위의 점이다. 


(1) \( AC + CD + DB\)가 최소일 때, \(C, D\)의 좌표를 구하시오.

(2) \( 0< k \le 1\)인 \(k\)에 대해 \(AC+kCD+DB\)가 최소가 되도록 \(C, D\)를 잡자. 

이때, \(C\)와 \(D\)가 \(y\)축에 대해 대칭임을 보이시오. 

(3) \(k\)가 1에서 시작하여 감소하다 어느 값이 되면 \(AC+kCD+DB\)의 값을 최소로 하는 점 \(C, D\)가 움직이기 시작한다. \(C, D\)가 움직이기 시작하게 되는 \(k\)의 값을 구하시오.


2. \(xy\) 평면에서 다음과 같은 영역 \(S, T\)를 정의하자. 

$$ S = \{(x,y) | |y| > x^2\} $$ $$ T = \{(x,y)|0<|y|<|x| \} $$ 또한, 시행 \((P)\)와 \((Q)\)를 다음과 같이 정의하자. 

시행 \((P)\): \(0\)이 아닌 정수 \(m\)을 선택하고, \((x,y)\)를 \((x^2+2my,y)\)로 옮긴다.

시행 \((Q)\): \(0\)이 아닌 정수 \(n\)을 선택하고, \((x,y)\)를 \((\sqrt{|x|},y+2nx)\)로 옮긴다.


(1) \(S\)에 속한 점은 시행 \(P\)를 통해 \(T\)의 점으로 옮겨진다는 것을 보이시오.

(2) '되돌이점'을 다음과 같이 정의하자. 

점 \((x,y)\)에 대하여, 시행 \((Q)\)와 시행 \((P)\)를 번갈아 진행했을 때 다시 원위치로 돌아올 수 있는 점들을 되돌이점이라고 한다. 단, 시행은 반드시 시행 \((Q)\)로 시작되어야 한다. 

(예시) \((0,0) \rightarrow (0,0)\), (\(n=1\) 선택하여 시행 \((Q)\))

\((1,2) \rightarrow (1,0) \rightarrow (1,0) \rightarrow (1,2)\), (\(n=-1\), \(m=1\), \(n=1\)을 순서대로 선택하여 \((Q), (P), (Q)\) 시행)

그러므로, \((0,0), (1,2)\)는 모두 되돌이점이다. 이제 \((1,0)\)은 되돌이점인지 판단하시오. 


풀이


1번을 보고 약간 당황했다. 이런 기하문제가 입시에 나올 것이라고는 생각하지 못했다.

우선 1-(1)은 \(B\)를 \(x\)축 기준으로 대칭시킨 다음, 삼각부등식을 적용하여 해결할 수 있다. 

\(B'(10,-2)\)를 잡으면, 대칭성과 삼각부등식에 의해서 다음이 성립함을 확인할 수 있다.

$$ AC + CD + DB = AC + CD + DB' \ge AB' $$ 등호는 \(A, C, D, B'\)이 한 직선 위에 있을 때 성립하며, 이 경우는 \(C, D\)가 원점일 때이다. 


1-(2)는 초반에 방향을 잘못 잡으면 말릴 수 있는 문제였다. \(C, D\)가 원점을 기준으로 반대 방향에 있어야 한다는 사실을 가정한다면, \(C, D\)는 각각 \(AC+ k CO\), \(DB+kDO\)를 최소화하는 점으로 잡으면 되고, 이 위치는 각 식의 대칭성에 의해서 원점을 기준으로 대칭임을 확인할 수 있다. 물론, \(AC+kCO\)가 유일한 \(C\)에 대해서 최솟값을 가진다는 사실을 확인해야 한다. 하지만 이 풀이는 \(C, D\)가 원점을 기준으로 같은 방향에 있을 경우를 처리하지 못하고, 이 경우를 처리하는 것이 생각보다 논리적으로 하기 까다롭다. 여기서 말리기 쉽다. 실제로 나도 여기서 한 번 말렸고, 1-(3)을 해결한 뒤에 돌아와서 풀 수 있었다. 


아이디어는 \(CD\)의 길이를 고정하고 생각하는 것이다. 그러면 \(AC+DB\)의 길이를 최소화하는 문제가 된다.

\(B\)를 \(CD\) 길이만큼 \(x\)축 방향으로 (\(C\)에 가까워지는 방향으로) 평행이동시킨 것을 \(B'\)이라 하자.

그러면 \(AC+CB'\)의 길이를 최소화하는 문제가 되고, 이는 다시 1-(1)처럼 \(B'\)을 \(x\)축 기준으로 대칭시켜서 풀 수 있는 문제가 된다. 이제 적당하게 계산을 해주면 원하는 결론이 얻어진다. 

\(D\)가 \(C\)보다 왼쪽에 있는 경우에 관해서 의문이 들 수 있는데, 이 풀이는 이 경우에도 정당하다.


1-(3)은 1-(2)의 결론에 의해 \(C(-u,0), D(u,0), u \ge 0\)을 잡고 (\(C\)가 \(D\)보다 왼쪽에 있어야 최소임은 자명하다) $$ f(u) = AC + k CD + DB = 2ku+2\sqrt{(10-u)^2+2^2} $$를 설정하자. 우리의 목표는 \(f(u)\)의 최솟값이 \(u=0\)에서 얻어지지 않는 \(k\)의 범위를 구하는 것이다. 


\(f\)를 한 번 미분하면, \(f'(u)=2\left(k - \frac{(10-u)}{\sqrt{(10-u)^2+2^2}} \right) \)가 나온다. 

여기서 확인해야 할 점은, \( \frac{(10-u)}{\sqrt{(10-u)^2+2^2}} \)가 \(u\)에 대해서 감소하는 함수라는 것이다. 

즉, \(f'(u)\)는 \(u\)에 대해서 증가하는 함수라는 사실을 확인할 수 있다. 이제 \(k\)에 대한 논의를 시작할 수 있다.

만약 \(f'(0) \ge 0\)이라면, \(f\)는 \(u\)에 대한 증가함수이다. 최솟값은 \(u=0\)에서 나온다. 

만약 \(f'(0) < 0\)이라면, \(f\)는 확실하게 \(u=0\)에서 최솟값을 가지지는 않는다. 


그러므로 커트는 \(f'(0)=0\)일 경우에 일어나며, 이 경우에서 \(k=\frac{5}{\sqrt{26}}\)이다. 


2번으로 넘어갔다. 상당히 새롭고 참신한 문제를 내려고 노력하신 것 같다. 정말 재밌는 문제.

우선 2-(1)을 풀기 위해, 우리가 무엇을 원하는 지를 다시 한 번 확인해보자. 


목표: \(|y|>x^2\)이면 \(0\)이 아닌 정수 \(m\)에 대해 \(|x^2+2my|>|y|>0\)이 성립함을 보이자.


좌변을 \(m\)에 대한 식으로 보면, 이 식은 \(-\frac{x^2}{2y}\)를 기점으로 증/감이 바뀌는 V 모양 함수다.

그러므로, \(m\)이 \(-\frac{x^2}{2y}\)에 가장 가까운 \(0\)이 아닌 정수인 경우에만 부등식을 확인해주면 된다. 

\(|y|>x^2\)이므로 \(\left| \frac{x^2}{2y} \right| \le \frac{1}{2}\)가 성립하고, 결국 \(m=\pm 1\)만 보면 충분하다. 

계산을 간단하기 위해서, 다음 보조정리들을 활용하도록 한다. 아래 논의에서 '부호'는 양수/0/음수로 나뉜다.


보조정리 1: \(0 \le |x|<|y|\)인 실수 \(x, y\)가 있다. \(y\)와 \(y+x\)와 \(y-x\)는 모두 부호가 동일하다. 

보조정리 2: \(x, y\)가 부호가 동일한 \(0\)이 아닌 실수라면, \(|x+y| > |y|\)가 성립한다. 


두 보조정리의 증명은 자명하므로 생략한다. 이제 \(m = \pm 1\)일 때 부등식을 증명해보자. 


\(m=1\)인 경우: \(y\)와 \(y+x^2\)의 부호가 동일하므로, \(|x^2+2y| = |y+(y+x^2)| > |y|\)다.

\(m=-1\)인 경우: \(y\)와 \(y-x^2\)의 부호가 동일하므로, \(|x^2-2y|=|y+(y-x^2)| > |y|\)다.


결국 \(m=\pm 1\)일 때 부등식이 성립하고, 모든 \(0\)이 아닌 정수 \(m\)에 대해 \(|x^2+2my|>|y|\)가 성립한다. 

한편, \(|y|>x^2 \ge 0\)이므로 \(|y|>0\)도 어렵지 않게 얻어진다. 이렇게 2-(1)의 증명이 끝난다. 


2-(2)는 답을 추측하는 게 중요한 문제다. 답은 되돌이점이 '아니다'

2-(1)에서와 마찬가지 방식의 논의로, \(T\)에 속한 점이 시행 \((P)\)를 통해서 \(S\)로 이동함을 알 수 있다.

\((1,0)\)에서 시행 \((Q)\)를 적용하면 \((1,2n)\)으로 이동하고, 이 점은 \(n\)이 \(0\)이 아닌 정수면 무조건 \(S\)에 속한다. 

그러므로 우리의 점은 \((P), (Q)\)를 반복 적용하면서 \(S, T\) 사이를 반복적으로 움직이게 된다. 


그러나 \((1,0)\)은 \(S\)에도, \(T\)에도 없다. 그러므로 \((1,0)\)으로 되돌아 오는 것은 불가능하다. 증명 끝.


면접


어마어마하게 떨었다. 면접에서는 풀이지를 교수님께 보여드리면서, 연필로 중요 내용을 짚어가며 설명하게 되었다.  

긴장한 상태에서 최대한 엄밀하게 모든 내용을 설명하려고 하다보니, 시간이 꽤 오래 걸렸다.   

교수님의 질문은 2-(2)에서의 '마찬가지 방식의 논의'에 대한 설명 요구였다. 이 설명을 마쳤더니 시간이 3분 남았다. 

그 후 교수님께서는 자소서 4번 - 독서에 관한 질문을 하셨고, (인상 깊게 읽은 책 소개) 전날에 준비한 덕분에 대답할 수 있었다. 


다음은 다른 친구들이 받았다던 추가질문 몇 개다. 

추가질문 1: 되돌이점의 예시를 하나 더 찾으시오. 

추가질문 2: https://en.wikipedia.org/wiki/Sharkovskii%27s_theorem의 하위호환 (이게 왜 나왔는지 잘 모르겠다)

periodic point of period \(3\)가 존재하면, periodic point of period \(2\)가 존재함을 보이는 문제가 나왔다고 한다.

물론 여기서 다루는 함수는 연속함수. 자세한 내용은 위키 링크를 타고 읽어보는 게 좋을 것 같다. 



3년간 고생이 많았는데 좋은 결과가 나왔으면 좋겠다. 


UPD: SNU 2019.




   

  1. 수학과 바라기 2018.11.23 21:26

    팬이에요!!!!

  2. 수학과 바라기 2018.11.23 21:26

    팬이에요!!!!

  3. 수학도 되게 잘하시나보네용 좋은결과 있길 바라겠습니다 ^___^ 되게 진지한 내용인데 " 내일이 심판의 날이네 주의 뜻을 알 수 있는 날이네" 이 부분 보고 엄청 웃었어요ㅋㅋㅋㅋ....

    • rkm0959 2018.11.27 21:42 신고

      헤헤 감사합니다

      저 노래 듣고 멘탈 진짜 박살났어요 ㅋㅋㅋㅋ

  4. 2019.01.01 21:30

    와... 진짜 멋지네요..!! 진짜 진짜 못지네용.......

  5. 이름에게 2019.01.30 13:21

    추가질문이 있었군요. 저는 설명 끝나니 그냥 가보라고 하셔서....

  6. Mathlinks 2019.07.06 23:30

    우왕 mathlinks 하는사람이다

문제

https://ssl.pstatic.net/static.news/image/news/2018/2019_scholastic_test/question/2a_o.pdf

여기서 확인할 수 있다. 모든 문제 번호는 홀수형을 기준으로 한다. 


풀이


20. 


\( (\alpha, \sin \alpha) \)에서 그은 접선의 방정식을 생각하면, $$ y - \sin \alpha = \cos \alpha (x-\alpha) $$가 된다. 이 직선이 \( \left( -\frac{\pi}{2} , 0 \right) \)를 지난다고 하고, \( \alpha\)에 대해 식을 정리해주면 $$ - \sin \alpha = \cos \alpha \left( - \frac{\pi}{2} - \alpha \right) $$ $$ \tan \alpha = \frac{\pi}{2} + \alpha$$를 얻고, 여기서 (ㄱ)이 맞다는 사실을 확인할 수 있다. 


이제 (ㄴ), (ㄷ)을 보도록 하자. \(\tan x - x\)는 불연속함수지만, 각 연속구간에서는 증가함수라는 사실을 쉽게 파악할 수 있다. 즉, 각 연속구간 - \( (n\pi - \frac{\pi}{2} , n\pi + \frac{\pi}{2})\)에서 해가 하나씩 존재한다. 


(ㄴ)을 풀기 위해서, \( a_{n+1} > a_n + \pi\)임을 보여보자. $$ \tan{a_{n+1}-\pi} = \tan{a_{n+1}} = \frac{\pi}{2} + a_{n+1} > \frac{\pi}{2} + a_n = \tan a_n $$이고, \(a_{n+1}-\pi\)는 \(a_n\)과 동일한 연속구간에 속하므로 \(a_{n+1} > a_n + \pi\)임을 알 수 있다. 그러므로 (ㄴ)도 참이다. 


(ㄷ)을 풀기 위해서, \(a_{n+1}-a_n-\pi\)가 감소수열임을 보여보자. \(a_{n+1}-a_n-\pi = \Delta_n\)이라고 하면, 앞의 논의에서 $$ \tan{a_n + \Delta_n} - \tan{a_n} = \Delta_n + \pi $$이다. \(a_n\)은 증가하므로, \(\Delta_n\)을 \(a_n\)에 대한 함수로 보고 미분하자. 즉, $$ \tan (x+y) - \tan x = y + \pi $$라는 곡선 위에서 \(\frac{dy}{dx}\)를 구해보자. 


각 \(x\)에 대해서 \(y\)가 \([0,\frac{\pi}{2}-x)\)에서 유일하게 존재하므로 이 과정은 정당하다. 

Note. \(\tan(x+y)-(x+y) = \tan x - x +\pi\)를 푸는 것과 동일하다. 

\(y=0\)을 넣으면 우변이 더 크고, \(y \rightarrow \frac{\pi}{2}-x\)에서 좌변이 \(+\inf\)로 발산한다. 

또한, 좌변은 \(y\)에 대한 증가함수이므로, 제시한 식을 만족하는 \(y\)는 유일하게 존재한다. (IVT + MVT)


이 값을 - 즉 \(\frac{dy}{dx}\)를 구하면 음수가 나온다는 사실을 확인할 수 있다. 음함수의 미분법을 그대로 적용하면, 

$$ \left(1+\frac{dy}{dx}\right) \cdot \sec^2(x+y) - \sec^2 x = \frac{dy}{dx} $$ $$ \frac{dy}{dx} = \cot^2 (x+y) \cdot (\tan^2 x - \tan^2 (x+y)) < 0$$

그러므로 \(a_{n+1}-a_n-\pi\)는 감소수열이고 (ㄷ)도 참이다. 결론적으로 답은 5번.  


21.


당연히 \(T(x)=f(x)^3\)를 잡고 시작하자. 조건에서 주는 것은 \(T'(2x+1)=2T'(x)\)와 \(T\left(-\frac{1}{8}\right), T(6)\)의 값이다. 

우선 미분계수의 값에 대한 조건을 활용하기 위해서, $$ \int_a^b T'(2x+1) dx = \int_a^b 2T'(x) dx$$라는 식을 써보자. 미적분학의 기본정리를 사용하면, 결론은 $$ T(2b+1)-4T(b) = T(2a+1) - 4T(a)$$가 된다. 즉, \(T(2x+1) - 4T(x) = C\)라고 쓸 수 있다. \(C = -3T(-1)\)임에 주목하자. \(C\)를 구하면 된다. 

이제부터는 계산이다. 다음 식들과, 문제에서 준 \(T\)의 함숫값을 사용하여 \(C\)를 구하자. 

$$\displaystyle T(6) - 4T\left(\frac{5}{2}\right) = T\left(\frac{5}{2}\right) - 4T\left(\frac{3}{4}\right) = T\left(\frac{3}{4}\right) - 4T\left(-\frac{1}{8}\right) = C$$

결론적으로 \(C = -\frac{8}{3}\)이 나오고, 이를 통해 \(f(-1)\)을 계산하면 답은 4번.  


29.


기본 세팅을 다음과 같이 하자. $$\vec{AP} = p\vec{AB}$$ $$ \vec{AQ} = q\vec{AB} + (1-q) \vec{AC}$$ $$\vec{AR} = r \vec{AC}$$ 여기서 \(p, q, r\)은 모두 \(0\) 이상 \(1\) 이하의 실수이다. 


이제 계산하면 $$ \vec{AX} = \left( \frac{1}{4} p  + \frac{1}{2} q \right) \vec{AB} + \left( \frac{1}{4}r + \frac{1}{2} (1-q) \right) \vec{AC}$$이다. 여기서 \(\frac{1}{2}q \vec{AB} + \frac{1}{2}(1-q)\vec{AC}\)는 \(AB\)의 중점과 \(AC\)의 중점을 연결한 선분이 된다. 


이 선분 위에 있는 점 \(X'\)을 잡자. 그러면 

$$ \vec{AP} = \vec{AX'} + \frac{1}{4} p \vec{AB} + \frac{1}{4} r \vec{AC} $$가 가능한 \(P\)의 자취를 구하는 것이 목적이 된다. 


\(\frac{1}{4}p \vec{AB} + \frac{1}{4}q \vec{AC} \)를 더하는 것은 각 변이 \(AB, AC\)와 평행하고 길이가 \(\frac{1}{4}AB\), \(\frac{1}{4}AC\)인 평행사변형을 그리는 것이다. 


이제 \(\vec{AX}\)가 어떤 영역을 움직이는지 쉽게 파악할 수 있다. 답은 \(S=9 \cdot \left(1- \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{16} \right) = \frac{45}{8}\)이므로 \(53\)이다.


30. 


\(g(x)\)를 미분하는 것으로 시작하자. 미분해보면, 결과는 $$ g'(x) = \frac{-f'(x) \cos f(x)}{(2+\sin f(x))^2} $$이 나온다. 이제 (가), (나) 조건을 통해서 필요한 정보를 얻어보자. 


(가) 조건에서는, \(\alpha_1 = 0\)을 알려준다. \(g'(0)=0\)이므로, \(f'(0)=0\)이거나 \(\cos f(0) = 0\)임을 알 수 있다. 

그런데 \(g(0)=\frac{2}{5}\)이므로 \(\sin f(0) = \frac{1}{2}\)이다. 여기서 \(\cos f(0)=0\)이 불가능하다는 것을 얻는다. 

한편, \( 0< f(0) < \frac{\pi}{2}\)이므로 \(f(0)=\frac{\pi}{6}\)이다. 그러므로 (가)에서 얻은 조건은 두 개로 요약 가능하다.


첫 번째 조건: \(f(0)=\frac{\pi}{6}\)이다. 두 번째 조건: \(f'(0)=0\)이다. 

구해야 하는 \(f\)의 계수 4개에 대한 일차식을 무려 3개를 얻었다. (최고차항 계수가 주어졌으므로.) 


(나) 조건에서는, 식을 살짝 바꿔주면 $$\sin f(\alpha_5) = \sin f(\alpha_2) + \frac{1}{2}$$를 얻는다. \(g'(x)\)의 형태에서, 우리는 임의의 극대/극소점 \(\alpha\)에 대해 다음이 성립함을 안다. 


팩트: \(f'(\alpha)=0\)이거나 \(\cos f(\alpha) = 0\) - 즉 \(\sin f(\alpha) = \pm 1\)이다. 


\(\sin f(\alpha_5) = \sin f(\alpha_2) + \frac{1}{2}\)라는 식을 관찰해보면, 두 \(\sin\) 값이 모두 \(\pm 1\) 형태일 수는 없다. 

또한, \(f'\)의 근은 최대 2개이므로, \(f'(\alpha_2) = f'(\alpha_5) = 0\)일 수는 없다.


그렇다면 결론은 하나다. 두 \(\alpha\) 중 하나는 \(f'\)이 \(0\)이 되고, 하나는 \(\sin f(\alpha)\)가 \(\pm 1\)이 된다. 

\(\sin\) 함숫값의 절댓값이 \(1\) 이하임에 착안하여 경우를 나누면, 다음 둘 중 하나임을 알 수 있다.


Case 1. \(\sin f(\alpha_2) = \frac{1}{2}\), \(\sin f(\alpha_5) = 1\), \(f'(\alpha_2) = 0\).

Case 2. \(\sin f(\alpha_2) = -1 \), \(\sin f(\alpha_5) = -\frac{1}{2}\), \(f'(\alpha_5) = 0\).


이제 두 경우에 따라서 각각 \(f\)가 알맞게 나오는 지 확인해보도록 하자. 


Case 1. \(\sin f(\alpha_2) = \frac{1}{2}\), \(\sin f(\alpha_5) = 1\), \(f'(\alpha_2) = 0\).


이 경우에는 \(g(\alpha_1) = g(0) = \frac{2}{5} = g(\alpha_2)\)가 된다. 

그러므로 \((\alpha_1, \alpha_2)\) 안에서 \(g(x)\)는 극대/극소를 적어도 한 번 가진다. 모순. 


Case 2. \(\sin f(\alpha_2) = -1\), \(\sin f(\alpha_5) = -\frac{1}{2}\), \(f'(\alpha_5)=0\).


이제 \(f'\)의 근은 \(0\)과 \(\alpha_5\)임이 확정되었다. 다른 근은 존재하지 않는다.

그러므로, \((0,\alpha_5)\)에서 \(\sin f(\alpha) = \pm 1\)인 모든 \(\alpha\)는 극대/극소점이다. 

이 점들은 \(f'(\alpha) \neq 0\)을 만족하므로, 그 점에서 \(\cos f(\alpha)\)의 부호가 변하기 때문이다.

또한, 극대/극소점 \(\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\)에서는 모두 \(\sin f(\alpha) = \pm 1\)이 된다. 

마지막으로, \(f\)는 구간 \([0,\alpha_5]\)에서 감소함이 확정되었다. 

 

그러므로 \(f(\alpha_2) = -\frac{\pi}{2}\), \(f(\alpha_3) = -\frac{3\pi}{2}\), \(f(\alpha_4) = -\frac{5\pi}{2}\)를 얻을 수 있다. 


이제 \(f(\alpha_5)\)를 구할 수 있다. \(\alpha_5 < -\frac{7\pi}{2}\)라면, \(-\frac{7\pi}{2}\) 역시 극대/극소점이 되므로 모순이다. 

그러므로 \(f(\alpha_5) \in (-\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2})\)이고, \(f(\alpha_5)= -\frac{17}{6} \pi\)를 얻을 수 있다. 

  

\(\alpha_5 = t\)라고 편의상 두자. 그러면 \(f'(x)=18\pi x(x-t)\)가 된다. 이를 적분하면, \(f(0)=\frac{\pi}{6}\)이므로 \(f(x)=6\pi x^3 - 9\pi t x^2 + \frac{\pi}{6}\)이 된다. 여기서 \(x=t\)를 대입하면, $$ 6t^3 - 9t^3 + \frac{1}{6} = -\frac{17}{6} $$를 얻는다. 그러므로 \(t=1\)이고, \(f(x) = 6\pi x^3 - 9\pi x^2 + \frac{\pi}{6}\)이다. 


이제 남은 것은 계산이다. \(f'\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{27\pi}{2}\)와, \(f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{17}{6}\pi\)를 얻는다.


그러면 $$ g'\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{-\frac{27\pi}{2} \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2}}{ \left(2 - \frac{1}{2} \right)^2} = 3 \sqrt{3} \pi$$를 얻고, 답은 \((3\sqrt{3})^2 = 27\)이 된다. 


문제 (완벽하게 동일한 statement가 아닐 수 있음)


1 - (1) 다음의 조건을 만족하는 집합 \(A, B, C\)를 고르는 방법의 수는?


조건 1. \(A, B, C\)는 \( \{1,2,3,4,5,6\}\)의 부분집합으로, \( A \cup B \cup C = \{1,2,3,4,5,6\} \)이다.

조건 2. \( n( A \cap B) =2\)이고, \( n(A \cap C)=1\)이다. 


1 - (2) 다음의 조건을 만족하는 집합 \( D, E\)를 고르는 방법의 수는?


조건 1. \(D, E\)는 \( \{7,8,9\} \)의 부분집합으로, \( D \cup E = \{ 7, 8, 9 \} \)이다. 

조건 2. \( n(D) > n(E) \ge 1\)이다. 


2. 다음 조건을 만족하는 함수 \(f\)가 있으면 찾고, 없다면 없음을 보여라.


조건. \(f\)는 \([0,1]\)에서 연속이며, \(f(0)=1\)이다. 또한, 다음이 성립한다. 


$$ \int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 xf(x) dx = \int_0^1 x^2f(x) dx = 0$$

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풀이 및 후기


오전 맨 마지막으로 면접을 봤다. 기다리느라 너무 지루했고 피곤했다. 컨디션 떡락 ㅠㅠ

조금 떨린 상태로 문제지를 열었다. 1번은 무난해 보이고, 2번이 변별력이 있어 보였다. 


2번을 읽는데... 이거 완전 https://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80%93Schmidt_process 아니냐???

(추가설명) 이걸 알면 삼차함수로 답을 구할 수 있다는 것이 자명해진다. \( 1, x, x^2, x^3\)으로 그램슈미츠 돌리면 답이 나오니까.

아니면 이거 완전 https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials 아니냐???

(추가설명) 이걸 알면 문제의 답을 아는 것과 마찬가지다. \(P_3(x)\)를 적당히 평행이동/상수배하면 된다.

결국 \( f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)를 잡아주고, 적분값이 모두 \(0\)이 되도록 하는 \(a, b, c\)를 계산했다.

이를 계산하는 것은 그냥 연립일차방정식을 세워서 풀어주면 된다. 더럽지만 어쩔 수 없음. 

실제로 식을 세워주면, 다음 세 식을 어렵지 않게 얻을 수 있다. 

$$ \frac{1}{4} + \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = 0 $$

$$ \frac{1}{5} + \frac{a}{4} + \frac{b}{3} + \frac{c}{2} = 0 $$

$$ \frac{1}{6} + \frac{a}{5} + \frac{b}{4} + \frac{c}{3} = 0 $$ 

\(a, b, c\)가 계산되면, \(f(0)=1\)을 만족하도록 상수배를 해주기만 하면 된다. 이 부분 계산은 생략. 


그렇게 하면 \(f(x)=-20x^3+30x^2-12x+1\)일 경우 주어진 조건이 모두 만족됨을 알 수 있다. 여기까지 7분 소요.


기분이 좋은 상태로 1번을 잡았고, 실제로도 무난한 확통 문제임을 알 수 있었다. 


1-(1)은 \( n(A \cap B \cap C)\)에 대하여 경우를 나눠서 해결할 수 있다. 벤 다이어그램을 그리는 것이 도움이 된다. 


만약 \( n (A \cap B \cap C) = 1\)이라면, 다음이 만족되어야 한다. 

1. \( A \cap B \cap C\)에는 원소가 하나 있어야 함.

2. \( A \cap B \cap C^C\)에는 원소가 하나 있어야 함.

3. \( A \cap B^C \cap C\)에는 원소가 없어야 함.

4. 나머지 원소들은 \( A \cap (B \cup C)^C\), \(B \cap (C \cup A)^C\), \(C \cap (A \cup B)^C\), 또는 \( B \cap C \cap A^C\)에 속해야 함.


1에 해당하는 원소 고르는 게 \(6\)가지, 2에 해당하는 원소 고르는 게 \(5\)가지, 4에서 배치하는 게 \(4^4\)가지. 총 \(7680\)개.


만약 \( n (A \cap B \cap C) = 0 \)이라면, 다음이 만족되어야 한다. 

1. \( A \cap B \cap C\)에는 원소가 없어야 함.

2. \( A \cap B \cap C^C\)에는 원소가 두 개 있어야 함.

3. \( A \cap B^C \cap C\)에는 원소가 한 개 있어야 함.

4. 나머지 원소들은 \( A \cap (B \cup C)^C\), \(B \cap (C \cup A)^C\), \(C \cap (A \cup B)^C\), 또는 \( B \cap C \cap A^C\)에 속해야 함.


2에 해당하는 원소들 고르는 게 \(\binom{6}{2}=15\)가지, 3에 해당하는 원소 고르는 게 \(4\)가지, 4에서 배치하는 게 \(4^3\)가지. 총 \(3840\)개.


이 둘을 합치면 답은 \(7680 + 3840 = 11520\)임을 알 수 있다. 


1-(2)는 \(n(D)\)에 관해 경우를 나눠서 쉽게 풀 수 있다. 


\(n(D)\)가 3이면, \(D\)는 유일하게 결정되고 \(E\)는 크기가 1 또는 2인 부분집합이면 되니까 총 6가지 경우가 나온다.


\(n(D)\)가 2면, \(E\)는 크기가 1인 집합이고 \(D \cup E = \{7,8,9\} \)가 성립하니 \(D\)만 결정하면 \(E\)가 자동 결정되어 총 3가지.  


그래서 이 둘을 합치면 답은 \(6+3=9\)임을 알 수 있다. 여기까지 13분 소요. 나머지 7분은 검산했다. 


발표는 작년처럼 종이 주고 여기에 풀이를 적고 보여주면서 설명하라고 하셨다. 

함수 \(f\)의 형태를 보여주거나, 벤 다이어그램을 그려서 보여주는 용도로 적당히 사용했다.

시간이 좀 남아서 2번에 대한 추가설명으로 Gram-Schmidt 직교화에 대하여 가볍게 언급했다. 


총평하자면 1번은 쉽고, 2번은 어려웠다. 분위기를 보니 수학과 지원하는 친구들이 2번을 꽤 푼 것 같다. 

2번 문제는 연대가 좋아하는 스타일의 함수 찾기 문제였고, 특히 수학에 대한 직관이 뛰어난 친구들이 잘 풀 것 같다. 


  1. leejseo 2018.11.03 21:25 신고

    오 연대 면접 치고 왔군 ㅋㅋ

  2. chpark1111 2019.09.09 11:05 신고

    질문 있어요! 문제 2번에서 그 조건을 만족하는 함수는 3차함수가 유일하다는 것을 증명할 수 있나요? 물론 문제에 그런 말은 없지만 궁금해요

    • rkm0959 2019.09.11 09:28 신고

      문제에 대한 답은 - 즉 조건을 만족하는 예시는 제가 제시한 것으로 유일하지 않습니다. 예를 들어서 chpark님이 f(x)=a(e^x+1325x-sin x)+b(x^135-23 cos e^x)+c(13x^13-68 sin x^2)+d(153x^3-15x^x+1) 같이 괴상한 식을 잡더라도, 어쨌든 우리가 확인해야 할 조건은 a, b, c, d에 대한 변수 4개, 식 4개의 연립일차방정식입니다. 저 연립방정식이 해를 가지면 (그리고 웬만해서는 가지겠죠, 실제 시험장이면 증명해야겠지만) 우리가 원하는 조건을 만족하는 a, b, c, d가 있을테고, 이를 대입하면 또 다른 f(x)를 얻을 수 있겠죠. 더 궁금하신 것이 있다면 "선형독립" 등의 개념을 찾아보시는 것도 추천합니당

    • chpark1111 2019.09.11 09:52 신고

      아하 그러면 다항함수가 꼭 아니여도 되는군요! 감사합니다!!

  3. 고삼이 2019.10.25 17:19

    저 혹시 연세대학교 특기자 과학인재 전형은 수학 면접만 보나요..? 제가 기대를 전혀 안하고 있다가 1차를 붙어서 당장 다음주가 면접인데 무슨 공부에 집중해야할지 감이 잘 안잡혀서요ㅠㅠㅠㅠ

    • rkm0959 2019.10.27 15:39 신고

      저는 수학만 봤습니다. 하지만 예전에는 과학도 본 적이 있었어요. 제 친구 몇몇은 면접 보기 직전까지도 과학책 읽었던걸로 알아요. 일단 수학 공부하시는걸 추천...

    • 고삼이 2019.10.28 19:20

      이번주가 면접이네요ㅠㅠ 감사합니당!

  4. potato 2021.07.25 06:05

    어... 2번에서 1,x,x2,x3 으로 그람 슈미츠 돌린다는게 무슨 뜻 인지 알 수 있을까요?
    그람 슈미츠를 알아보니까 선형 대수학에서 벡터를 이용하는 건데 이게 어떻게 사용되는지 모르겠습니다.....

    • rkm0959 2021.07.27 02:27 신고

      f, g 사이의 내적을 f * g를 0부터 1까지 적분한 것으로 두면 됩니다. 다항식도 어떻게 보냐에 따라서 벡터가 될 수 있죠 :)