수능 2019 - 가형 20, 21, 29, 30 풀이

문제

https://ssl.pstatic.net/static.news/image/news/2018/2019_scholastic_test/question/2a_o.pdf

여기서 확인할 수 있다. 모든 문제 번호는 홀수형을 기준으로 한다. 

풀이

20. 

\( (\alpha, \sin \alpha) \)에서 그은 접선의 방정식을 생각하면, $$ y - \sin \alpha = \cos \alpha (x-\alpha) $$가 된다. 이 직선이 \( \left( -\frac{\pi}{2} , 0 \right) \)를 지난다고 하고, \( \alpha\)에 대해 식을 정리해주면 $$ - \sin \alpha = \cos \alpha \left( - \frac{\pi}{2} - \alpha \right) $$ $$ \tan \alpha = \frac{\pi}{2} + \alpha$$를 얻고, 여기서 (ㄱ)이 맞다는 사실을 확인할 수 있다. 

이제 (ㄴ), (ㄷ)을 보도록 하자. \(\tan x - x\)는 불연속함수지만, 각 연속구간에서는 증가함수라는 사실을 쉽게 파악할 수 있다. 즉, 각 연속구간 - \( (n\pi - \frac{\pi}{2} , n\pi + \frac{\pi}{2})\)에서 해가 하나씩 존재한다. 

(ㄴ)을 풀기 위해서, \( a_{n+1} > a_n + \pi\)임을 보여보자. $$ \tan{a_{n+1}-\pi} = \tan{a_{n+1}} = \frac{\pi}{2} + a_{n+1} > \frac{\pi}{2} + a_n = \tan a_n $$이고, \(a_{n+1}-\pi\)는 \(a_n\)과 동일한 연속구간에 속하므로 \(a_{n+1} > a_n + \pi\)임을 알 수 있다. 그러므로 (ㄴ)도 참이다. 

(ㄷ)을 풀기 위해서, \(a_{n+1}-a_n-\pi\)가 감소수열임을 보여보자. \(a_{n+1}-a_n-\pi = \Delta_n\)이라고 하면, 앞의 논의에서 $$ \tan{a_n + \Delta_n} - \tan{a_n} = \Delta_n + \pi $$이다. \(a_n\)은 증가하므로, \(\Delta_n\)을 \(a_n\)에 대한 함수로 보고 미분하자. 즉, $$ \tan (x+y) - \tan x = y + \pi $$라는 곡선 위에서 \(\frac{dy}{dx}\)를 구해보자. 

각 \(x\)에 대해서 \(y\)가 \([0,\frac{\pi}{2}-x)\)에서 유일하게 존재하므로 이 과정은 정당하다. 

Note. \(\tan(x+y)-(x+y) = \tan x - x +\pi\)를 푸는 것과 동일하다. 

\(y=0\)을 넣으면 우변이 더 크고, \(y \rightarrow \frac{\pi}{2}-x\)에서 좌변이 \(+\inf\)로 발산한다. 

또한, 좌변은 \(y\)에 대한 증가함수이므로, 제시한 식을 만족하는 \(y\)는 유일하게 존재한다. (IVT + MVT)

이 값을 - 즉 \(\frac{dy}{dx}\)를 구하면 음수가 나온다는 사실을 확인할 수 있다. 음함수의 미분법을 그대로 적용하면, 

$$ \left(1+\frac{dy}{dx}\right) \cdot \sec^2(x+y) - \sec^2 x = \frac{dy}{dx} $$ $$ \frac{dy}{dx} = \cot^2 (x+y) \cdot (\tan^2 x - \tan^2 (x+y)) < 0$$

그러므로 \(a_{n+1}-a_n-\pi\)는 감소수열이고 (ㄷ)도 참이다. 결론적으로 답은 5번.  

21.

당연히 \(T(x)=f(x)^3\)를 잡고 시작하자. 조건에서 주는 것은 \(T'(2x+1)=2T'(x)\)와 \(T\left(-\frac{1}{8}\right), T(6)\)의 값이다. 

우선 미분계수의 값에 대한 조건을 활용하기 위해서, $$ \int_a^b T'(2x+1) dx = \int_a^b 2T'(x) dx$$라는 식을 써보자. 미적분학의 기본정리를 사용하면, 결론은 $$ T(2b+1)-4T(b) = T(2a+1) - 4T(a)$$가 된다. 즉, \(T(2x+1) - 4T(x) = C\)라고 쓸 수 있다. \(C = -3T(-1)\)임에 주목하자. \(C\)를 구하면 된다. 

이제부터는 계산이다. 다음 식들과, 문제에서 준 \(T\)의 함숫값을 사용하여 \(C\)를 구하자. 

$$\displaystyle T(6) - 4T\left(\frac{5}{2}\right) = T\left(\frac{5}{2}\right) - 4T\left(\frac{3}{4}\right) = T\left(\frac{3}{4}\right) - 4T\left(-\frac{1}{8}\right) = C$$

결론적으로 \(C = -\frac{8}{3}\)이 나오고, 이를 통해 \(f(-1)\)을 계산하면 답은 4번.  

29.

기본 세팅을 다음과 같이 하자. $$\vec{AP} = p\vec{AB}$$ $$ \vec{AQ} = q\vec{AB} + (1-q) \vec{AC}$$ $$\vec{AR} = r \vec{AC}$$ 여기서 \(p, q, r\)은 모두 \(0\) 이상 \(1\) 이하의 실수이다. 

이제 계산하면 $$ \vec{AX} = \left( \frac{1}{4} p  + \frac{1}{2} q \right) \vec{AB} + \left( \frac{1}{4}r + \frac{1}{2} (1-q) \right) \vec{AC}$$이다. 여기서 \(\frac{1}{2}q \vec{AB} + \frac{1}{2}(1-q)\vec{AC}\)는 \(AB\)의 중점과 \(AC\)의 중점을 연결한 선분이 된다. 

이 선분 위에 있는 점 \(X'\)을 잡자. 그러면 

$$ \vec{AP} = \vec{AX'} + \frac{1}{4} p \vec{AB} + \frac{1}{4} r \vec{AC} $$가 가능한 \(P\)의 자취를 구하는 것이 목적이 된다. 

\(\frac{1}{4}p \vec{AB} + \frac{1}{4}q \vec{AC} \)를 더하는 것은 각 변이 \(AB, AC\)와 평행하고 길이가 \(\frac{1}{4}AB\), \(\frac{1}{4}AC\)인 평행사변형을 그리는 것이다. 

이제 \(\vec{AX}\)가 어떤 영역을 움직이는지 쉽게 파악할 수 있다. 답은 \(S=9 \cdot \left(1- \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{16} \right) = \frac{45}{8}\)이므로 \(53\)이다.

30. 

\(g(x)\)를 미분하는 것으로 시작하자. 미분해보면, 결과는 $$ g'(x) = \frac{-f'(x) \cos f(x)}{(2+\sin f(x))^2} $$이 나온다. 이제 (가), (나) 조건을 통해서 필요한 정보를 얻어보자. 

(가) 조건에서는, \(\alpha_1 = 0\)을 알려준다. \(g'(0)=0\)이므로, \(f'(0)=0\)이거나 \(\cos f(0) = 0\)임을 알 수 있다. 

그런데 \(g(0)=\frac{2}{5}\)이므로 \(\sin f(0) = \frac{1}{2}\)이다. 여기서 \(\cos f(0)=0\)이 불가능하다는 것을 얻는다. 

한편, \( 0< f(0) < \frac{\pi}{2}\)이므로 \(f(0)=\frac{\pi}{6}\)이다. 그러므로 (가)에서 얻은 조건은 두 개로 요약 가능하다.

첫 번째 조건: \(f(0)=\frac{\pi}{6}\)이다. 두 번째 조건: \(f'(0)=0\)이다. 

구해야 하는 \(f\)의 계수 4개에 대한 일차식을 무려 3개를 얻었다. (최고차항 계수가 주어졌으므로.) 

(나) 조건에서는, 식을 살짝 바꿔주면 $$\sin f(\alpha_5) = \sin f(\alpha_2) + \frac{1}{2}$$를 얻는다. \(g'(x)\)의 형태에서, 우리는 임의의 극대/극소점 \(\alpha\)에 대해 다음이 성립함을 안다. 

팩트: \(f'(\alpha)=0\)이거나 \(\cos f(\alpha) = 0\) - 즉 \(\sin f(\alpha) = \pm 1\)이다. 

\(\sin f(\alpha_5) = \sin f(\alpha_2) + \frac{1}{2}\)라는 식을 관찰해보면, 두 \(\sin\) 값이 모두 \(\pm 1\) 형태일 수는 없다. 

또한, \(f'\)의 근은 최대 2개이므로, \(f'(\alpha_2) = f'(\alpha_5) = 0\)일 수는 없다.

그렇다면 결론은 하나다. 두 \(\alpha\) 중 하나는 \(f'\)이 \(0\)이 되고, 하나는 \(\sin f(\alpha)\)가 \(\pm 1\)이 된다. 

\(\sin\) 함숫값의 절댓값이 \(1\) 이하임에 착안하여 경우를 나누면, 다음 둘 중 하나임을 알 수 있다.

Case 1. \(\sin f(\alpha_2) = \frac{1}{2}\), \(\sin f(\alpha_5) = 1\), \(f'(\alpha_2) = 0\).

Case 2. \(\sin f(\alpha_2) = -1 \), \(\sin f(\alpha_5) = -\frac{1}{2}\), \(f'(\alpha_5) = 0\).

이제 두 경우에 따라서 각각 \(f\)가 알맞게 나오는 지 확인해보도록 하자. 

Case 1. \(\sin f(\alpha_2) = \frac{1}{2}\), \(\sin f(\alpha_5) = 1\), \(f'(\alpha_2) = 0\).

이 경우에는 \(g(\alpha_1) = g(0) = \frac{2}{5} = g(\alpha_2)\)가 된다. 

그러므로 \((\alpha_1, \alpha_2)\) 안에서 \(g(x)\)는 극대/극소를 적어도 한 번 가진다. 모순. 

Case 2. \(\sin f(\alpha_2) = -1\), \(\sin f(\alpha_5) = -\frac{1}{2}\), \(f'(\alpha_5)=0\).

이제 \(f'\)의 근은 \(0\)과 \(\alpha_5\)임이 확정되었다. 다른 근은 존재하지 않는다.

그러므로, \((0,\alpha_5)\)에서 \(\sin f(\alpha) = \pm 1\)인 모든 \(\alpha\)는 극대/극소점이다. 

이 점들은 \(f'(\alpha) \neq 0\)을 만족하므로, 그 점에서 \(\cos f(\alpha)\)의 부호가 변하기 때문이다.

또한, 극대/극소점 \(\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\)에서는 모두 \(\sin f(\alpha) = \pm 1\)이 된다. 

마지막으로, \(f\)는 구간 \([0,\alpha_5]\)에서 감소함이 확정되었다. 

 

그러므로 \(f(\alpha_2) = -\frac{\pi}{2}\), \(f(\alpha_3) = -\frac{3\pi}{2}\), \(f(\alpha_4) = -\frac{5\pi}{2}\)를 얻을 수 있다. 

이제 \(f(\alpha_5)\)를 구할 수 있다. \(\alpha_5 < -\frac{7\pi}{2}\)라면, \(-\frac{7\pi}{2}\) 역시 극대/극소점이 되므로 모순이다. 

그러므로 \(f(\alpha_5) \in (-\frac{7\pi}{2}, -\frac{5\pi}{2})\)이고, \(f(\alpha_5)= -\frac{17}{6} \pi\)를 얻을 수 있다. 

  

\(\alpha_5 = t\)라고 편의상 두자. 그러면 \(f'(x)=18\pi x(x-t)\)가 된다. 이를 적분하면, \(f(0)=\frac{\pi}{6}\)이므로 \(f(x)=6\pi x^3 - 9\pi t x^2 + \frac{\pi}{6}\)이 된다. 여기서 \(x=t\)를 대입하면, $$ 6t^3 - 9t^3 + \frac{1}{6} = -\frac{17}{6} $$를 얻는다. 그러므로 \(t=1\)이고, \(f(x) = 6\pi x^3 - 9\pi x^2 + \frac{\pi}{6}\)이다. 

이제 남은 것은 계산이다. \(f'\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{27\pi}{2}\)와, \(f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{17}{6}\pi\)를 얻는다.

그러면 $$ g'\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{-\frac{27\pi}{2} \cdot -\frac{\sqrt{3}}{2}}{ \left(2 - \frac{1}{2} \right)^2} = 3 \sqrt{3} \pi$$를 얻고, 답은 \((3\sqrt{3})^2 = 27\)이 된다.