수능 2020: 수학 가형 20, 21, 29, 30 풀이

정말 간단하게, 의식의 흐름대로 쓰려고 한다. 종이 안 쓰고 글 쓰면서 푼 거라 깔끔하지는 않다.

이번에 29, 30이 진짜 쉽긴 한 것 같다 ㅋㅋ; 번호는 짝수 기준. 

20번.

• 앞면이 5번 이상 나오면 무조건 연속해서 나오는 경우가 있다.
• 여기서 $\binom{7}{5}+\binom{7}{6}+\binom{7}{7} = 29$개.
  
• 앞면이 4번 나오면, 한 경우를 제외하면 연속해서 나오는 경우가 있다.
• 여기서 $\binom{7}{4}-1 = 34$개.
• 앞면이 3번 나오는 경우를 보자. 전체 $35$개 중, 연속해서 나오지 않는 경우는 몇 개?
• $1 \le x_1 < x_2 - 1 < x_3 - 2 \le 5$로 생각하면 $\binom{5}{3} = 10$개.
• 그러니 총 $29+34+35-10 = 88$개. 답은 $\frac{88}{2^7} = \frac{11}{16}$이니 1번.

21번. 

• 절댓값과 미분 가능성에 관한 문제는 정말 많이 나오는 것 같다.
  
• 핵심은 절댓값 안에 있는 값이 0인 경우에, 도함수가 0이어야 한다는 것이다.
• 일단 $f(x) = e^t(x-t)+e^t$라는 것은 쉽게 알 수 있다.
• 그러니 우리는 $|e^t(x-t)+e^t + k - \ln x|$에 대하여 고민해야 한다.
• 일단 $h(x) = e^t(x-t) + e^t + k - \ln x$를 보자.
• $h'(x) = e^t - \frac{1}{x}$이니, $h$는 감소 후 증가한다.
• $h$의 최솟값이 $0$ 이상이면, 문제 없다.
• $h$의 최솟값이 음수면, $h(x)=0$인 지점에서 $h'(x)=0$이어야 한다.
• 그런데 이러면 결국에는 $h(x)=0$인 지점이 그래프 개형상 극점이어야 한다.
• 결론: $h$의 최솟값이 $0$ 이상이어야 한다.
• $h$의 최솟값은 $x = e^{-t}$에서 얻어진다. 
• 즉, $h(e^{-t}) = 0$이 되도록 하는 $k$의 값이 $g(t)$다.
• 정리하면 $g(t) = (t-1)e^t - (t+1)$을 얻는다.
• 이제 $g$의 그래프 개형을 그리면, (ㄱ)이 참임을 확인할 수 있다. 
• $g$가 연속이며, $g$의 최솟값이 음수이니까 (ㄱ)이 참임은 자명하다.
• (ㄴ)도 쉽게 확인할 수 있다. $(c-1)e^c = (c+1)$이면, $(-c-1)e^{-c} = (-c+1)$이다. 간단 식 조작.
• 마지막으로 (ㄷ)을 보자. $g(x)$의 개형을 다시 생각해보자.
• $m$이 최소라는 것은 $g(\alpha) = g(\beta) = 0$이라는 것이다.
• 이제 $g'(x) = xe^x - 1$임을 생각하면, $\displaystyle \frac{1+g'(\beta)}{1+g'(\alpha)} = \frac{\beta e^{\beta}}{\alpha e^{\alpha}}$다.
• 그런데 우리는 (ㄴ)에서 $\alpha = -\beta$임을 얻었다. 
• 그러니 이 식은 다시 $-e^{2\beta}$로 바뀐다. 이제 확인해야 하는 것은 $\beta > 1$인지 여부다.
• 이것은 매우 쉬운 일이다. $\beta > 1$임을 쉽게 확인할 수 있고, 결론적으로 (ㄷ)도 참이다. 답은 5번.

29번.

• 구면 위의 점 $(a,b,c)$에서 그은 접평면의 방정식은 $ax+by+cz=1$이다.
• 그러니 접점을 찾으려면, $a^2+b^2+c^2=3a-3b+3c=-2a+7b-2c=1$인 $(a,b,c)$를 찾으면 된다.
• $b, c$를 $a$에 대하여 표현한 뒤, $a$에 대한 이차방정식을 풀면 된다.
• 실제로 접점이 될 수 있는 두 점을 계산할 수 있다.
• 이제 사면체의 부피를 계산하면 되는데 고등학교 과정 내에서 쓰는 방법으로 적당히 계산하면 된다.
• 나는 귀찮아서 wolframalpha + determinant 썼다. 아마 $\frac{20}{9} \sqrt{3}$이 나와서 답이 $29$.  

30번.

• 직관적으로, 한 점에서 만나려면, 그 점에서 두 함수의 값과 도함수가 모두 같아야 한다.
• 직관을 엄밀하게 설명하고 싶다면, 볼록/오목성을 조금만 생각해보면 알 수 있다.
• $t^3\ln(x-t) = 2e^{x-a}$, $\frac{t^3}{x-t} = 2e^{x-a}$인 $x$가 있다.
• $(x-t)\ln(x-t) =1$을 여기서 얻는다. 
• 그런데 $h(x) = x\ln x$의 개형을 생각해보면, $x \ln x =1$을 만족하는 실수 $x$는 유일하다.
• 이 값을 $u$라 설정하면, $x-t=u$가 강제된다. 
• 다시 대입하면, $\frac{t^3}{u}  = 2e^{t+u-a}$를 얻고, 정리하면 $f(t)=a = t+u - \ln \frac{t^3}{2u}$다.
• 이를 $t$에 대해서 미분하면, $f'(t) = 1 - \frac{3}{t}$를 얻는다. 이제 계산하면 답은 $64$.