연세대 특기자 2019 면접 복기, 풀이 및 후기

문제 (완벽하게 동일한 statement가 아닐 수 있음)

1 - (1) 다음의 조건을 만족하는 집합 $A, B, C$를 고르는 방법의 수는?

조건 1. $A, B, C$는 $\{1,2,3,4,5,6\}$의 부분집합으로, $A \cup B \cup C = \{1,2,3,4,5,6\}$이다.

조건 2. $n( A \cap B) =2$이고, $n(A \cap C)=1$이다. 

1 - (2) 다음의 조건을 만족하는 집합 $D, E$를 고르는 방법의 수는?

조건 1. $D, E$는 $\{7,8,9\}$의 부분집합으로, $D \cup E = \{ 7, 8, 9 \}$이다. 

조건 2. $n(D) > n(E) \ge 1$이다. 

2. 다음 조건을 만족하는 함수 $f$가 있으면 찾고, 없다면 없음을 보여라.

조건. $f$는 $[0,1]$에서 연속이며, $f(0)=1$이다. 또한, 다음이 성립한다. 

$$\int_0^1 f(x) dx = \int_0^1 xf(x) dx = \int_0^1 x^2f(x) dx = 0$$

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풀이 및 후기

오전 맨 마지막으로 면접을 봤다. 기다리느라 너무 지루했고 피곤했다. 컨디션 떡락 ㅠㅠ

조금 떨린 상태로 문제지를 열었다. 1번은 무난해 보이고, 2번이 변별력이 있어 보였다. 

2번을 읽는데... 이거 완전 https://en.wikipedia.org/wiki/Gram%E2%80%93Schmidt_process 아니냐???

(추가설명) 이걸 알면 삼차함수로 답을 구할 수 있다는 것이 자명해진다. $1, x, x^2, x^3$으로 그램슈미츠 돌리면 답이 나오니까.

아니면 이거 완전 https://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials 아니냐???

(추가설명) 이걸 알면 문제의 답을 아는 것과 마찬가지다. $P_3(x)$를 적당히 평행이동/상수배하면 된다.

결국 $f(x)=x^3+ax^2+bx+c$를 잡아주고, 적분값이 모두 $0$이 되도록 하는 $a, b, c$를 계산했다.

이를 계산하는 것은 그냥 연립일차방정식을 세워서 풀어주면 된다. 더럽지만 어쩔 수 없음. 

실제로 식을 세워주면, 다음 세 식을 어렵지 않게 얻을 수 있다. 

$$\frac{1}{4} + \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = 0$$

$$\frac{1}{5} + \frac{a}{4} + \frac{b}{3} + \frac{c}{2} = 0$$

$$\frac{1}{6} + \frac{a}{5} + \frac{b}{4} + \frac{c}{3} = 0$$  

$a, b, c$가 계산되면, $f(0)=1$을 만족하도록 상수배를 해주기만 하면 된다. 이 부분 계산은 생략. 

그렇게 하면 $f(x)=-20x^3+30x^2-12x+1$일 경우 주어진 조건이 모두 만족됨을 알 수 있다. 여기까지 7분 소요.

기분이 좋은 상태로 1번을 잡았고, 실제로도 무난한 확통 문제임을 알 수 있었다. 

1-(1)은 $n(A \cap B \cap C)$에 대하여 경우를 나눠서 해결할 수 있다. 벤 다이어그램을 그리는 것이 도움이 된다. 

만약 $n (A \cap B \cap C) = 1$이라면, 다음이 만족되어야 한다. 

1. $A \cap B \cap C$에는 원소가 하나 있어야 함.

2. $A \cap B \cap C^C$에는 원소가 하나 있어야 함.

3. $A \cap B^C \cap C$에는 원소가 없어야 함.

4. 나머지 원소들은 $A \cap (B \cup C)^C$, $B \cap (C \cup A)^C$, $C \cap (A \cup B)^C$, 또는 $B \cap C \cap A^C$에 속해야 함.

1에 해당하는 원소 고르는 게 $6$가지, 2에 해당하는 원소 고르는 게 $5$가지, 4에서 배치하는 게 $4^4$가지. 총 $7680$개.

만약 $n (A \cap B \cap C) = 0$이라면, 다음이 만족되어야 한다. 

1. $A \cap B \cap C$에는 원소가 없어야 함.

2. $A \cap B \cap C^C$에는 원소가 두 개 있어야 함.

3. $A \cap B^C \cap C$에는 원소가 한 개 있어야 함.

4. 나머지 원소들은 $A \cap (B \cup C)^C$, $B \cap (C \cup A)^C$, $C \cap (A \cup B)^C$, 또는 $B \cap C \cap A^C$에 속해야 함.

2에 해당하는 원소들 고르는 게 $\binom{6}{2}=15$가지, 3에 해당하는 원소 고르는 게 $4$가지, 4에서 배치하는 게 $4^3$가지. 총 $3840$개.

이 둘을 합치면 답은 $7680 + 3840 = 11520$임을 알 수 있다. 

1-(2)는 $n(D)$에 관해 경우를 나눠서 쉽게 풀 수 있다. 

$n(D)$가 3이면, $D$는 유일하게 결정되고 $E$는 크기가 1 또는 2인 부분집합이면 되니까 총 6가지 경우가 나온다.

$n(D)$가 2면, $E$는 크기가 1인 집합이고 $D \cup E = \{7,8,9\}$가 성립하니 $D$만 결정하면 $E$가 자동 결정되어 총 3가지.  

그래서 이 둘을 합치면 답은 $6+3=9$임을 알 수 있다. 여기까지 13분 소요. 나머지 7분은 검산했다. 

발표는 작년처럼 종이 주고 여기에 풀이를 적고 보여주면서 설명하라고 하셨다. 

함수 $f$의 형태를 보여주거나, 벤 다이어그램을 그려서 보여주는 용도로 적당히 사용했다.

시간이 좀 남아서 2번에 대한 추가설명으로 Gram-Schmidt 직교화에 대하여 가볍게 언급했다. 

총평하자면 1번은 쉽고, 2번은 어려웠다. 분위기를 보니 수학과 지원하는 친구들이 2번을 꽤 푼 것 같다. 

2번 문제는 연대가 좋아하는 스타일의 함수 찾기 문제였고, 특히 수학에 대한 직관이 뛰어난 친구들이 잘 풀 것 같다.