문제
(Graham, Pollak 1972) Prove that the edge set of Kn cannot be partitioned into the edge-disjoint union of less than n−1 complete bipartite subgraphs. Also, prove that this bound is tight.
스포 방지선
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(증명) Kn의 각 정점을 1,2,⋯,n이라 하자. 우선 n−1개의 완전 이분 그래프로 Kn을 분할하는 것은 쉽다.
귀류법으로, 완전 이분 그래프 B1,B2,⋯Bm이 Kn을 분할한다고 하자. (단, m≤n−2다.)
또한, 각 완전 이분 그래프 Bk 안에서 두 disjoint independent set을 Lk,Rk라고 부르자.
즉, Bk의 간선은 Lk의 정점과 Rk의 정점 사이를 모두 연결한 것이다.
다음 조건을 만족하도록 Kn의 정점 v에 실수 xv를 놓자.
조건 1: 모든 1≤k≤m에 대하여, ∑v∈Lkxv=0이고, n∑v=1xv=0
조건 2: n∑v=1x2v≠0이다. 즉, 모든 v에 대해 xv가 전부 0은 아니다.
이것이 가능함을 보이자. 기초적인 선형대수학을 알면 쉽게 보일 수 있다.
조건 1은 식의 개수가 m+1개인 하나의 Homogeneous한 연립방정식을 이룬다.
변수의 개수가 n개이고 m+1<n이므로, 이 연립방정식은 non-trivial 해를 가진다.
그러므로 조건 1, 2를 만족하도록 정점 v에 실수 xv를 놓을 수 있다.
이제 B1,B2,⋯Bm이 Kn의 edge set을 완벽하게 분할하므로, 다음 식이 성립한다.
∑1≤i<j≤nxixj=m∑k=1(∑i∈Lkxi)⋅(∑j∈Rkxj)
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